知识点复习

1.2 知识点复习

1.2.1 数、运算与数的扩张

数的扩张过程可以用下面这张图来表示。

首先，我们通过数学归纳法原理和后继的概念给出了自然数的定义，同时递归定义了加法和乘法。随后，我们利用加法逆元的概念定义了减法和整数，再利用乘法逆元的概念定义了除法和有理数。至此，我们已构建了一个域，即有理数域，它对四则运算封闭。

我们在有理数域中定义了序，并证明了它的三歧性（定理1.3.5和推论1.3.7），从而给出序域的概念。我们在序域中可以定义绝对值，并给出距离的定义。至此，我们有了度量的手段，为微积分的基本概念——极限作铺垫。

然而，在微积分研究中，仅有有理数域还远远不够。除了老师在课上举的例子以外，我更喜欢下面这种引入方式。在后续的课程中，我们会接触到数列极限的概念，并提出Cauchy收敛准则。这可以算得上微积分中最基本的概念，即：

定理 1.2.1 数列 ${x_{n}}_{n \geq 1} \subseteq R$ 收敛当且仅当它是一个Cauchy点列，即对于任意 $ε > 0$ ，存在 $N \in N$ ，使得对任意 $m, n > N$ ， $| x_{n} - x_{m} | < ε$ 。

Cauchy收敛准则是判断数列收敛的好方法，因为它只需要研究数列本身的变化趋势，无需预先“开上帝视角”知道数列的极限值。然而，Cauchy收敛准则成立的条件是完备性，即任何Cauchy点列都能收敛到原空间。这对空间以及空间的度量提出了要求，你能很轻松地在有理数域中构造出这样的数列来：

例 1.2.2 数列 ${x_{n}}_{n \geq 1}$ ，其中 $x_{n}$ 是 $\sqrt{2}$ 的 $n$ 位十进制近似。显然， ${x_{n}}_{n \geq 1}$ 是一个Cauchy点列，但它在有理数域中没有极限。¹⁰

所以仅仅有有理数域是不够的，我们必须要扩张数域。一种扩张的方法就是利用确界¹¹，定义实数为有理数集合的上确界，并给出了 $R$ 中的确界公理（定理1.4.14），进而说明它的完备性。这一章最重要的结论便是：实数集 $R$ 是唯一一个具有确界性质的序域。

复数最初是在求解一元三次方程的过程中提出的¹²，不是本课程的重点。

最后，我们在提出自然数时，就提出了基本的运算律，即交换律、结合律和分配律。我们在扩张数的同时，还在不断推广四则运算的定义和运算律的适用范围。推广是引入新数学概念的常见思路，读者可在学习中不断体会这一点。

读者可以按以上思路厘清这一章的逻辑，并复习以下知识点：

(1): 自然数集、数学归纳法原理、后继、加法、乘法、结合律、交换律、分配律。
(2): 整数集、减法、加法单位元、加法逆元。
(3): 有理数集、除法、乘法单位元、乘法逆元、序、距离、域。
(4): 实数、实数的序、阿基米德性质。

1.2.2 确界

重要概念回顾有（上、下）界、上（下）界、最大（小）值、上（下）确界。

重要定理回顾确界公理： $R$ 中任何非空有上界的集合都有上确界。

注

(1)

确界公理的一个重要应用是（非空有上界的）集合的上界集合一定有最小值。

(2)

确界有多种等价表述，以集合 $A$ 的上确界 $a$ 为例，如：

$a = min {x \in R ∣ x is the upper bound of A}$ 。
$a$ 是上界；且 $\forall ε > 0$ ， $a - ε$ 都不是 $A$ 的上界，即 $\forall ε > 0$ ， $\exists x \in A$ ，使得 $x > a - ε$ 。
$\forall x > a$ ， $x$ 都是 $A$ 的上界；且 $\forall x < a$ ， $x$ 都不是 $A$ 的上界。

¹⁰此处仅仅是给出一个例子说明有理数域不是完备的，读者不必纠结 $\sqrt{2}$ 的定义问题。

¹¹也可以定义实数为 $Q$ 中Cauchy点列的极限，感兴趣的读者可自行查阅资料。

¹²你可能会很惊讶，不应该是在求解一元二次方程的过程中提出来的吗？其实不然。自Cardano提出（或者说剽窃Tartaglia得到）一元三次方程的求根公式时，人们发现有些显然有三个实根的方程代入求根公式中竟只能得到一个实根，必须假定负数也可以开平方才能求出另外两个。相比之下，二次方程中 $Δ < 0$ 造成的无实根问题真的算是“无伤大雅”。