2.2 知识点复习

2.2.1 函数的连续性

重要概念回顾

(1)

连续：设$I\subseteq \mathbb{R}$，称函数$f:I\to \mathbb{R}$在$a\in I$处连续，若$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }\delta >0$，使得$\mathrm{\forall }x\in I$，$|x-a|<\delta ⟹|f(x)-f(a)|<\epsilon$。

(2)

连续函数：称$f:I\to \mathbb{R}$是连续函数，若$f$在$I$的每一点处连续。

重要定理回顾

(1)

连续函数的复合：设函数$f$在$a$处连续，$g$在$b=f(a)$处连续，则$g\circ f$在$a$处连续。

(2)

连续函数的四则运算：设函数$f$和$g$都在$a$处连续，则$f\pm g$、$f\cdot g$、$f/g$（$g(a)\ne 0$）都在$a$处连续。

应用

(1)

绝对值函数$|x|$在$\mathbb{R}$上连续。

(2)

基本初等函数（常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）在其定义域内连续。它们的有限次四则运算和复合运算结果仍然连续。

2.2.2 函数在一点处的极限

重要概念回顾

(1)

邻域、去心邻域、聚点、孤立点。

(2)

极限：设$a\in \mathbb{R}$是集合$I$的一个聚点，称$\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，若$\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R}$使得$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }\delta >0$，使得$\mathrm{\forall }x\in I\cap \stackrel{\circ }{U}(a,\delta )$，$|f(x)-A|<\epsilon$。

重要定理回顾

(1)

极限唯一性：若当$x$趋于$a$时函数$f:I\to \mathbb{R}$存在极限，则极限唯一。

(2)

极限与连续的关系：设$a$是$I$的聚点，则

• 若在$a$的一个去心邻域中$f(x)=g(x)$，$\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，则$\underset{x\to a}{lim}g(x)=A$。
• $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$的充分必要条件是如下定义的函数$F$在$a$处连续：$$\begin{array}{}\text{(1)}& F(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\in I\setminus \{a\},\\ A,& x=a.\end{array}\end{array}$$
• $f$在$a$处连续当且仅当$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$。

(3)

极限的四则运算：设$\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，$\underset{x\to a}{lim}g(x)=B$，则

• $\underset{x\to a}{lim}[f(x)\pm g(x)]$存在，且等于$A\pm B$。
• $\underset{x\to a}{lim}[f(x)\cdot g(x)]$存在，且等于$A\cdot B$。
• 若$B\ne 0$，则$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$存在，且等于$\frac{A}{B}$。

(4)

复合函数的极限：设$\underset{x\to a}{lim}f(x)=b$。

• 若$g$在点$b$处连续，则$\underset{x\to a}{lim}g(f(x))$存在，且等于$g(b)$。
• 若$g$在点$b$处无定义，且$\underset{y\to b}{lim}g(y)=A$，则$\underset{x\to a}{lim}g(f(x))$存在，且等于$A$。

(5)

夹挤定理：设函数$u,v,f$都在$I$上定义，$a$是$I$的聚点。若在$a$的一个去心邻域中总有$u(x)\le f(x)\le v(x)$，且$\underset{x\to a}{lim}u(x)=\underset{x\to a}{lim}v(x)=A$，则$\underset{x\to a}{lim}f(x)$存在，且等于$A$。

(6)

保序性和有界性：设$\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，$\underset{x\to a}{lim}g(x)=B$，则

• 若$A<B$，则在$a$的某个去心邻域中总成立$f(x)<g(x)$。
• $f$在$a$的某个去心邻域中有界。
• 若在$a$的任何去心邻域中总存在$x$使得$f(x)\le g(x)$，则$A\le B$。

应用

(1)

$\underset{x\to a}{lim}x\sin \frac{1}{x}=0$。

(2)

定义Riemann函数为$$\begin{array}{}\text{(2)}& R(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{p},& x=\frac{q}{p},p\in {\mathbb{N}}^{\ast },q\in \mathbb{Z},gcd(p,q)=1,\\ 0,& x\notin \mathbb{Q}.\end{array}\end{array}$$ 则$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}$，$\underset{x\to a}{lim}R(x)=0$。

(3)

$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-3x+2}{x^2-x}=-1$。

(4)

设$a>0$，$\underset{x\to a}{lim}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{1}{2\sqrt{a}}$。

(5)

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x^2/2}=1$。

(6)

若$\underset{x\to a}{lim}f(x)$存在，则$f$在$a$的某个去心邻域中有界。

(7)

$\underset{x\to 0}{lim}\sin \frac{1}{x}$、$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}$不存在。

注

(1)

极限不关心函数在该点的取值，只关心函数在该点附近（即去心邻域）的取值。

(2)

在有关极限的定理中，我们首先关心的始终是极限是否存在，其次是极限的值。

(3)

在复合函数的极限中，若$g$在点$b$处有定义且存在极限$A$，但$g(b)\ne A$，则$\underset{x\to a}{lim}g(f(x))=A$可能不成立。

(4)

由函数保序性推出极限保序性时，需要特别注意：只能保证不严格不等号成立，即便函数是严格保序的。

(5)

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x\sin \frac{1}{x})}{x\sin \frac{1}{x}}$是否存在？这取决于极限的定义。在黄皮书中，极限要求函数在去心邻域上有定义，而$x=0$的任意去心领域内都包含使分母为零的点，此时该极限不存在。而在本堂课中，极限是对聚点定义的，而$x=0$的任意去心邻域内都包含使分母不为零的点，因此该极限存在且等于$1$。