9.2 知识点复习

9.2.1 定积分的概念

重要概念回顾

(1)

Riemann和：设$P:a=x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$为$[a,b]$的一个划分，选定区间的标志点${\xi }_k\in I_k=[x_{k-1},x_k]$，则$f$在$[a,b]$上的Riemann和为$$\begin{array}{}\text{(1)}& S(f,P,\xi )=\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\underset{=\mathrm{\Delta }{x}_k=|I_k|}{\underbrace{(x_k-x_{k-1})}}\end{array}$$

(2)

Riemann可积：设$f:[a,b]\to \mathbb{R}$，若$\mathrm{\exists }I\in \mathbb{R}$，使得$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }{\delta }_{\epsilon }>0$，使得对任意划分$P$，$$\begin{array}{}\text{(2)}& \parallel P\parallel :=\underset{1\le k\le n}{max}|x_k-x_{k-1}|<{\delta }_{\epsilon }⟹\mathrm{\forall }\xi =\{{\xi }_k\mid {\xi }_k\in I_k\},|S(f,P,\xi )-I|<\epsilon \end{array}$$ 则称$f$在$[a,b]$上Riemann可积，$I$为$f$在$[a,b]$上的Riemann积分（定积分），记作$$\begin{array}{}\text{(3)}& I={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

(3)

Darboux上下和：设$f:[a,b]\to \mathbb{R}$有界，给定划分$P$，定义$$\begin{array}{}\text{(4)}& \bar{S}(f,P)=\sum _{k=1}^n\underset{x\in I_k}{sup}f(x)|I_k|,\underset{―}{S}(f,P)=\sum _{k=1}^n\underset{x\in I_k}{inf}f(x)|I_k|\end{array}$$ 则显然有$$\begin{array}{}\text{(5)}& \underset{―}{S}(f,P)\le S(f,P,\xi )\le \bar{S}(f,P)\end{array}$$

(4)

Darboux可积：设$f:[a,b]\to \mathbb{R}$，若$\mathrm{\exists }I\in \mathbb{R}$，使得$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，存在划分$P$，使得$$\begin{array}{}\text{(6)}& I-\epsilon <\underset{―}{S}(f,P)\le I\le \bar{S}(f,P)<I+\epsilon ⟺\bar{S}(f,P)-\underset{―}{S}(f,P)<2\epsilon \end{array}$$ 则称$f$在$[a,b]$上Darboux可积。

(5)

零测集：设$D\subseteq \mathbb{R}$，若$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }$可数个区间$\{I_k\}$，使得$$\begin{array}{}\text{(7)}& D\subseteq \bigcup _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{I}_k\wedge \sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}|I_k|<\epsilon \end{array}$$ 则称$D$为零测集。

重要定理回顾

(1)

以下三个命题等价：

• （Riemann）$f$在$[a,b]$上Riemann可积；
• （Darboux）$f$在$[a,b]$上Darboux可积；
• （Lebesgue）$f$在$[a,b]$上有界，且$f$的间断点集是零测集。

(2)

Riemann可积的振幅表述：记${\omega }_f(I):=\underset{x,y\in I}{sup}|f(x)-f(y)|$，则$f$在$[a,b]$上Riemann可积当且仅当$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }[a,b]$的划分$P:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$，使得$$\begin{array}{}\text{(8)}& \sum _{k=1}^n{\omega }_f(I_k)\mathrm{\Delta }{x}_k<\epsilon \end{array}$$

(3)

$[a,b]$上的所有连续函数可积，$[a,b]$上的所有（分段）单调函数可积。

应用

(1)

由速度计算路程、由密度计算质量、曲边梯形的面积。

(2)

Riemann函数Riemann可积性、Dirichlet函数Riemann不可积。

注

(1)

Riemann可积的定义不需要对函数值$f(x)$比大小，所以这个定义可以适用于复数值的函数$f:[a,b]\to \mathbb{C}$，甚至是向量值的映射$f:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$（此时需要将绝对值改为${\mathbb{R}}^n$中的范数）。

(2)

用Riemann可积的定义检验一个函数的可积性是不大现实的，因为它需要检验所有划分和所有标志点；但是，如果已知一个函数可积，那么这个定义给出了计算积分近似值的一个方便的办法，可以任取足够细的划分和标志点集来计算Riemann和。

9.2.2 定积分的性质

重要定理回顾

(1)

线性：设$f,g\in \mathcal{R}[a,b]$，$\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$，则$\lambda f+\mu g\in \mathcal{R}[a,b]$，且$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\int }_a^b[\lambda f(x)+\mu g(x)]\mathrm{d}x=\lambda {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+\mu {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

(2)

保序性：设$f,g\in \mathcal{R}[a,b]$，若$\mathrm{\forall }x\in [a,b]$都有$f(x)\le g(x)$，则$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x\end{array}$$ 进一步地，若$f,g$均在$x_0\in [a,b]$处连续且$f(x_0)<g(x_0)$，则$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x<{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

(3)

三角不等式：设$f,g\in \mathcal{R}[a,b]$，则$$\begin{array}{}\text{(12)}& |{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x|\le {\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x\end{array}$$

(4)

第一积分中值定理（积分平均值定理）：设$f\in \mathcal{C}[a,b]$，$g\in \mathcal{R}[a,b]$且在$[a,b]$上不变号，则$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x\end{array}$$ 简证：不妨设$g(x)\ge 0$，则$$\begin{array}{}\text{(14)}& m{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x\le M{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x⟹m\le \frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x}{{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x}\le M\end{array}$$ 由介值定理知结论成立。

(5)

Cauchy-Schwarz不等式：设$f,g\in \mathcal{R}[a,b]$，则$$\begin{array}{}\text{(15)}& {({\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x{\int }_a^b{g}^2(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

(6)

*第二积分中值定理：设$f\in \mathcal{R}[a,b]$，$g$在$[a,b]$上单调，则$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得$$\begin{array}{}\text{(16)}& {\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)\mathrm{d}x+g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

注 ${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x$定义了函数空间中$f$和$g$的内积，从而可以定义$f$和$g$的正交性。

9.2.3 微积分基本定理与Newton-Leibniz公式

重要概念回顾

(1)

积分的有向性：设$f\in \mathcal{R}[a,b]$，定义${\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x:=-{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$。

重要定理回顾

(1)

积分区域的可加性：设$f\in \mathcal{R}(I)$，则$\mathrm{\forall }a,b,c\in I$，都有$$\begin{array}{}\text{(17)}& {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$ 或者记为$$\begin{array}{}\text{(18)}& {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_b^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{a}f(x)\mathrm{d}x=0\end{array}$$

(2)

微积分基本定理I：设$f$在区间$I$的任何有界闭子区间上可积，$a\in I$。记$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则

• $F:I\to \mathbb{R}$连续；
• 若$f$在$x_0\in I$处连续，则$F$在$x_0$处可微，且$F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$。
• 若$f\in \mathcal{C}(I)$，则$F\in {\mathcal{C}}^1(I)$，且$F^{\prime }(x)=f(x)$。

(3)

在一个区间上，所有连续函数都有原函数。

(4)

微积分基本定理II（Newton-Leibniz公式）：设$f\in \mathcal{R}[a,b]$，$F$是$f$的一个原函数，则$$\begin{array}{}\text{(19)}& {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)\end{array}$$

应用

(1)

设$f$在区间$I$上连续，$u,v:[\alpha ,\beta ]\to I$可导，则$F(x):={\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)\mathrm{d}t$在$[\alpha ,\beta ]$上可导，且$$\begin{array}{}\text{(20)}& F^{\prime }(x)=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x)\end{array}$$

(2)

定积分的数值计算：设$f$足够光滑，$F(h)={\int }_{a-h/2}^{a+h/2}f(x)\mathrm{d}x$，则以下近似公式的精度为：

• 矩形公式：$F(h)=hf(a)+\mathcal{O}(h^3)$；
• 梯形公式：$F(h)=h\frac{f(a-\frac{h}{2})+f(a+\frac{h}{2})}{2}+\mathcal{O}(h^3)$；
• Simpson公式：$F(h)=h\frac{f(a-\frac{h}{2})+4f(a)+f(a+\frac{h}{2})}{6}+\mathcal{O}(h^5)$。

注

(1)

微积分基本定理I针对的问题是：哪些函数会有原函数，以及如何给出一个原函数？答案是：连续函数都有原函数，连续函数的变上限积分给出一个原函数。但是，不是只有连续函数才有原函数，也不是所有函数都有原函数。

(2)

微积分基本定理II针对的问题是：如何计算积分？答案是：如果被积函数有原函数，则定积分计算可以归结为寻找原函数，也就是不定积分。然而，并非每个函数都有原函数；对有原函数的函数，其原函数也未必是初等函数。

9.2.4 积分计算

重要定理回顾

(1)

换元公式：设$f\in \mathcal{R}(I)$，$\phi \in {\mathcal{C}}^1[a,b]$满足$\phi [a,b]=[\alpha ,\beta ]\subseteq I$，则$$\begin{array}{}\text{(21)}& {\int }_a^{b}f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t={\int }_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$ 进一步地，若$\phi$是单射，则$$\begin{array}{}\text{(22)}& {\int }_{[a,b]}f(\phi (t))|{\phi }^{\prime }(t)|\mathrm{d}t={\int }_{[\alpha ,\beta ]}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

(2)

分部积分：设$f,g\in {\mathcal{C}}^1[a,b]$，则$$\begin{array}{}\text{(23)}& {\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x={f(x)g(x)|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

注 换元公式不仅为定积分计算提供了一个转化手段，更重要的是它表明定积分不仅可以看成是一个函数在区间上的积分，也可以看成在一维直线上沿一条路径的积分。