7.1 第五次作业参考答案

第6次习题课中的题目请直接参考对应讲义。

7.1.1 习题5.1

解 (1) ${\mathrm{e}}^{\lambda x}$是该微分方程的解等价于$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\mathrm{e}}^{\lambda x}(a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0)=0\end{array}$$ 由于${\mathrm{e}}^{\lambda x}>0$，故上式等价于$$\begin{array}{}\text{(5)}& a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0=0\end{array}$$

(2) 设$a_n=1$，$y(x)=C(x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$是微分方程的解等价于$$\begin{array}{}\text{(6)}& f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{y}^{(i)}=\sum _{i=0}^n{a}_i\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})C^{(j)}(x){\lambda }^{i-j}{\mathrm{e}}^{\lambda x}={\mathrm{e}}^{\lambda x}\sum _{j=0}^n{C}^{(j)}(x)\sum _{i=j}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})a_i{\lambda }^{i-j}=0\end{array}$$ 由于${\mathrm{e}}^{\lambda x}>0$，故上式等价于$$\begin{array}{}\text{(7)}& \sum _{j=0}^n{C}^{(j)}(x)\sum _{i=j}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})a_i{\lambda }^{i-j}=0\end{array}$$ 注意到当$j=0$时，有$$\begin{array}{}\text{(8)}& \sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{0})a_i{\lambda }^i=a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0=0\end{array}$$ 因此$C^{\prime }$需满足以下$n-1$阶常系数线性常微分方程的解$$\begin{array}{}\text{(9)}& \sum _{j=1}^n(C^{\prime }{)}^{(j-1)}(x)\sum _{i=j}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})a_i{\lambda }^{i-j}=0\end{array}$$

(3) 考虑函数$f(x):=y(x){\mathrm{e}}^{-\lambda x}$，其中$y(x)$为微分方程的解，代入验证可得$$\begin{array}{}\text{(10)}& f^{\prime }(x)=y^{\prime }(x){\mathrm{e}}^{-\lambda x}-\lambda y(x){\mathrm{e}}^{-\lambda x}=[y^{\prime }(x)-\lambda y(x)]{\mathrm{e}}^{-\lambda x}=0\end{array}$$ 由Lagrange中值定理可得$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$，均$\mathrm{\exists }\xi \in \mathbb{R}$位于$0,x$之间使得$$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(\xi )=0\end{array}$$ 故$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$均有$f(x)=f(0)$，即$f(x)\equiv C$。因此$y(x)=C{\mathrm{e}}^{\lambda x}$。

(4) 该微分方程的特征方程为${\lambda }^2-3\lambda +2=0$，解得对应的特征值为${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2$。考虑函数$f(x):=y(x){\mathrm{e}}^{-x}$，其中$y(x)$为微分方程的解，代入验证可得$$\begin{array}{}\text{(12)}& \begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =[y^{\prime }(x)-y(x)]{\mathrm{e}}^{-x}\\ f^{″}(x)& =[y^{″}(x)-2y^{\prime }(x)+y(x)]{\mathrm{e}}^{-x}\\ ⟹f^{″}(x)-f^{\prime }(x)& =[y^{″}(x)-3y^{\prime }(x)+2y(x)]{\mathrm{e}}^{-x}=0\end{array}\end{array}$$ 由(3)可知$f^{\prime }$的通解为$f^{\prime }(x)=C_1{\mathrm{e}}^x$。考虑函数$g(x):=f(x)-C_1{\mathrm{e}}^x$，则$g^{\prime }(x)=0$，故$g(x)=C_2=\mathrm{const}$，亦即$$\begin{array}{}\text{(13)}& y(x)=f(x){\mathrm{e}}^x=[g(x)+C_1{\mathrm{e}}^x]{\mathrm{e}}^x=C_1{\mathrm{e}}^{2x}+C_2{\mathrm{e}}^x\end{array}$$ 类似可得当$a^2-4b>0$时，$y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$的所有解为$$\begin{array}{}\text{(14)}& y(x)=C_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x},{\lambda }_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}\end{array}$$

(5) 该微分方程的特征方程为${\lambda }^2-2a\lambda +a^2=0$，解得对应的特征值为${\lambda }_1={\lambda }_2=a$。考虑函数$f(x):=y(x){\mathrm{e}}^{-ax}$，其中$y(x)$为微分方程的解，代入验证可得$$\begin{array}{}\text{(15)}& f^{″}(x)=[y^{″}(x)-2a{y}^{\prime }(x)+a^{2}y(x)]{\mathrm{e}}^{-ax}=0\end{array}$$ 故$f^{\prime }(x)\equiv f^{\prime }(0)$。考虑函数$g(x):=f(x)-f^{\prime }(0)x$，则$g^{\prime }(x)=0$，故$g(x)\equiv g(0)=f(0)$。因此$$\begin{array}{}\text{(16)}& y(x)=f(x){\mathrm{e}}^{ax}=[f(0)+f^{\prime }(0)x]{\mathrm{e}}^{ax}=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{ax}\end{array}$$ $◻$

另证 构造函数$g(x)={\mathrm{e}}^{-x}f(x)$，由题可知$$\begin{array}{}\text{(20)}& g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x}(f^{\prime }(x)-f(x))\le {\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$ 故$$\begin{array}{}\text{(21)}& g(x)=g(0)+{\int }_0^x{g}^{\prime }(t)\mathrm{d}t\le {\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$ 即$f(x)\le {\mathrm{e}}^x-1$，故$f^{\prime }(x)\le {\mathrm{e}}^x$。 $◻$

7.1.2 习题5.2

解 原题等价于$$\begin{array}{}\text{(22)}& a^b⋚b^a⟺\frac{\ln a}{a}⋚\frac{\ln b}{b}\end{array}$$ 考虑函数$f(x):=\frac{\ln x}{x}$，则$f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$，故$f(x)$在$(0,\mathrm{e})$上严格减，在$(\mathrm{e},+\mathrm{\infty })$上严格增。因此：

• 当$0<a<b\le \mathrm{e}$时，$f(a)>f(b)$，故$a^b>b^a$；
• 当$\mathrm{e}\le a<b$时，$f(a)<f(b)$，故$a^b<b^a$。
• 当$0<a<\mathrm{e}<b$时，$a^b$与$b^a$的大小关系不确定，取决于$f(a)$与$f(b)$的大小关系。

解 原题等价于$$\begin{array}{}\text{(23)}& \frac{x}{\sin x}⋚\frac{\tan x}{x}⟺\cos x⋚\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}\end{array}$$ 注意到$$\begin{array}{}\text{(24)}& \cos x=1-2{\sin }^2\frac{x}{2}<1-2{(\frac{x}{2}-\frac{x^3}{48})}^2<{(1-\frac{x^2}{6})}^2<\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}\end{array}$$ 其中用到了$$\begin{array}{}\text{(25)}& \sin x>x-\frac{x^3}{6}>0,\mathrm{\forall }x\in (0,2)\end{array}$$ $◻$