3.1 知识点复习

3.1.1 单侧极限与间断，单调函数的极限与连续性

重要概念回顾

(1)

单侧极限：设$a\in \mathbb{R}$是集合$I$的一个聚点，称右极限$f(a^{+})=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=A$，若$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }\delta >0$，使得$\mathrm{\forall }x\in I\cap (a,a+\delta )$，$|f(x)-A|<\epsilon$。

(2)

单侧连续：称$f$在$a$处右连续，若$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=f(a)$。

(3)

间断点：设$a\in \mathbb{R}$是集合$I$的一个聚点，称$a\in \mathbb{R}$是函数$f:I\to \mathbb{R}$的间断点，若$f$在$a$处无定义或不连续。间断点可分为：

• 第一类间断点：$\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$和$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)$都存在，又可细分为：

  • 可去间断点：$\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)$，但$f$在$a$处无定义或$f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$。
  • 跳跃间断点：$\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)$。
• 第二类间断点：$\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$和$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)$至少有一个不存在。

重要定理回顾

(1)

对单侧极限，上述（双侧）极限所有的性质（唯一性、四则运算、复合函数、夹挤定理、保序性和有界性）都成立。

(2)

单调有界蕴涵单侧极限存在：设$f:(a,b)\to \mathbb{R}$单调不减。

• 若$f$在$(a,b)$内有上界，则$\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)$存在，且等于$\underset{x\in (a,b)}{sup}f(x)$。
• 若$f$在$(a,b)$内有下界，则$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)$存在，且等于$\underset{x\in (a,b)}{inf}f(x)$。

(3)

单调函数的连续性、反函数的连续性：设$I\subseteq \mathbb{R}$是区间，$f:I\to \mathbb{R}$是单调函数，则

• $f$连续当且仅当$f(I)$是区间。
• 若$f$是严格单调的连续函数，则$f^{-1}:f(I)\to I$连续。

应用

(1)

各类间断点的判断。所有有理数点都是Riemann函数的可去间断点，所有实数点都是Dirichlet函数的第二类间断点。

(2)

设$f:I\to \mathbb{R}$单调。且$f$在$x_0$左右两侧任意近旁有定义，则

• 单侧极限$f(x_0^{-}),f(x_0^{+})$存在，且$f(x_0^{-})\le f(x_0)\le f(x_0^{+})$。
• 若$f(x_0^{-})<f(x_0^{+})$，则$f$在$x_0$处跳跃间断。
• 若$f(x_0^{-})=f(x_0^{+})$，则$f$在$x_0$处连续

(3)

乘方、开方、指数、对数、幂函数的连续性。

3.1.2 无穷远、无穷小与无穷大，数列的极限

重要概念回顾

(1)

$\pm \mathrm{\infty }$作为聚点。

(2)

函数在无穷远处的极限：设$f:I\to \mathbb{R}$，$+\mathrm{\infty }$是$I$的聚点（$\mathrm{\forall }N>0$，$I\cap [N,+\mathrm{\infty })\ne \varnothing$），称$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$，若$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }N>0$，使得$\mathrm{\forall }x$，$x>N⟹|f(x)-A|<\epsilon$。$-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$类似。

(3)

无穷小、无穷大、正（负）无穷大。

(4)

数列作为定义在自然数（正整数集）上的函数，无穷小数列、无穷大数列、正（负）无穷大数列。

(5)

邻域、去心邻域、左（右）侧去心邻域、$\pm \mathrm{\infty }$的邻域、$\mathrm{\infty }$的邻域。

(6)

垂直渐近线、斜渐近线、水平渐近线。

重要定理回顾

(1)

复合函数的极限：设$\underset{x\to c}{lim}f(x)=A$，$\underset{y\to A}{lim}g(y)=B$，其中$c,A,B\in \mathbb{R}\cup \{+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\}$或为某个实数的某一侧，则在下述三个条件之一成立时，都有$\underset{x\to c}{lim}g(f(x))=B$：

• $A=+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$。
• $A$是实数或实数的某测，且$f$总在$A$的去心邻域中。
• $A$是实数或实数的某侧，且$g$在$A$处连续。

(2)

Heine定理：

• 函数$g$在$y_0$处连续当且仅当对$g$的定义域中任意满足$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=y_0$的数列$\{y_n{\}}_{n\ge 1}^{+\mathrm{\infty }}$，都有$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(y_n)=g(y_0)$。
• $\underset{y\to c}{lim}g(y)=A$当且仅当对满足$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=c$且$y_n\ne c$的任意数列$\{y_n{\}}_{n\ge 1}^{+\mathrm{\infty }}$，都有$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(y_n)=A$。

(3)

子列：设$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$，则对任意单射$f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$，都有$\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_{f(k)}=A$。特别地，当$f$是增函数时，称数列$\{a_{f(k)}{\}}_{k\ge 1}^{+\mathrm{\infty }}$是$\{a_n{\}}_{n\ge 1}^{+\mathrm{\infty }}$的子列。

(4)

对极限为实数或$+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }$的情况，极限的保序性、单调有界收敛的结论也都成立。

应用

(1)

$\underset{x\to c}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$当且仅当$\mathrm{\forall }M>0$，存在$c$的一个去心邻域$V$使得$f\mathrm{\forall }x\in V$，$|f(x)|>M$。

(2)

设$\alpha >0$，则$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{\alpha }=+\mathrm{\infty }$，$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^{\alpha }=0$。

(3)

设$a>1$，则$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{a}^x=0$，$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}^x=+\mathrm{\infty }$。

(4)

若当$x\to c$时，$f_1,f_2$都是无穷小，$f_3$有界，则当$x\to c$时，$f_1+f_2,f_1{f}_3$也是无穷小。

(5)

设$\underset{x\to c}{lim}f(x)=(\pm )\mathrm{\infty }$。

• 若$g$有正下界，则$\underset{x\to c}{lim}f(x)g(x)=(\pm )\mathrm{\infty }$。
• 若$g$有界，则$\underset{x\to c}{lim}[f(x)+g(x)]=(\pm )\mathrm{\infty }$。
• 若$\underset{x\to c}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$，且$f(x)\le g(x)$，则$\underset{x\to c}{lim}g(x)=+\mathrm{\infty }$。

(6)

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=\mathrm{e}$。

(7)

$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}$，$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}=1$。

注

(1)

有限多个邻域（去心邻域）的交集仍是邻域（去心邻域）。

(2)

极限的邻域表述：$\underset{x\to c}{lim}f(x)=A$，即对$A$的任何邻域$W$，存在$c$的去心邻域$V$使得$f(V)\subseteq W$。

(3)

连续的邻域表述：$f$在$x_0$处连续，即对$f(x_0)$的任何邻域$W$，存在$x_0$的邻域$V$使得$f(V)\subseteq W$。

3.1.3 实数的连续性，迭代与不动点

重要概念回顾

(1)

闭集、闭区间。

(2)

Cauchy数列：$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }N>0$使得$\mathrm{\forall }m,n>N$，$|a_m-a_n|<\epsilon$。

重要定理回顾

(1)

有界闭区间套定理：设一列非空有界闭区间$[a_n,b_n]$构成一个区间套，即$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]$，则$\bigcap _{n\ge 1}[a_n,b_n]\ne \varnothing$。若进一步$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=0$，则存在唯一的实数$A$使得$\bigcap _{n\ge 1}[a_n,b_n]=\{A\}$。

(2)

列紧性：任何有界的实数列必含有收敛的子列。

(3)

数列收敛的Cauchy准则：数列$\{x_n{\}}_{n\ge 1}$收敛当且仅当它是一个Cauchy数列。

应用

(1)

Banach压缩不动点定理：设$I$是闭集，$f:I\to \mathbb{R}$满足$f(I)\subseteq I$，且存在常数$0<\lambda <1$使得$\mathrm{\forall }x,y\in I$，$|f(x)-f(y)|\le \lambda |x-y|$（此时称$f$为集合$I$上的一个压缩映射），则存在唯一的$x^{\ast }\in I$使得$f(x^{\ast })=x^{\ast }$（即$x^{\ast }$是$f$的不动点）；并且$\mathrm{\forall }x\in I$，$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{(n)}(x)=x^{\ast }$，其中$f^{(n)}$表示$f$的$n$次迭代。

(2)

考虑$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，$f(x)=\cos x$，$x_n=f^{(n)}(x_0)$，则$\mathrm{\forall }{x}_0\in \mathbb{R}$，$\{x_n\}$收敛于$f(x)$的不动点，即方程$x=\cos x$的唯一实数解。

3.1.4 连续函数的介值性质，反函数的连续性

重要概念回顾 基本初等函数、初等函数。

重要定理回顾

(1)

连续函数的介值性质：设$I\subseteq \mathbb{R}$是区间，$f:I\to \mathbb{R}$连续，则$f(I)=\{f(x)|x\in I\}$也是区间。等价说法是，若$x_1,x_2\in I$，$f(x_1)<f(x_2)$，则$\mathrm{\forall }y\in (f(x_1),f(x_2))$，存在介于$x_1,x_2$之间的$x$使得$f(x)=y$。

(2)

设$I\subseteq \mathbb{R}$是区间，$f:I\to \mathbb{R}$是连续单射，则$f$是严格单调函数，且$f^{-1}:f(I)\to I$是连续函数。

(3)

初等函数都是连续函数。

注 连续函数的介值性质也称连续函数的零点定理。

3.1.5 有界闭集上的连续函数

重要定理回顾

(1)

$I\subseteq \mathbb{R}$是有界闭集当且仅当$I$中任何数列都含有在$I$中收敛的子列。

(2)

设$I\subseteq \mathbb{R}$是非空有界闭集，则$I$有最大值和最小值。

(3)

设$I\subseteq \mathbb{R}$是有界闭集，$f:I\to \mathbb{R}$连续. 则$f(I)=\{f(x)|x\in I\}$是有界闭集。

(4)

设$I\subseteq \mathbb{R}$是有界闭集，$f:I\to \mathbb{R}$连续. 则$f(I)=\{f(x)|x\in I\}$有最大值和最小值。

应用

(1)

$f:(0,1)\to \mathbb{R}$，$f(x)=\frac{1}{x}$是连续函数，但$f$在区间$(0,1)$内没有最大值和最小值。

(2)

$f:[1,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$，$f(x)=\frac{1}{x}$是连续函数，但$f$在闭区间$[1,+\mathrm{\infty })$内没有最大值和最小值。

(3)

函数$$\begin{array}{}\text{(1)}& g(x)=\{\begin{array}{ll}(-1{)}^{p}p,& x=\frac{q}{p},p\in {\mathbb{N}}^{\ast },q\in \mathbb{Z},gcd(p,q)=1\\ 0,& x\notin \mathbb{Q}\end{array}\end{array}$$ 在区间$[0,1]$上既无上界也无下界，从而既没有最大值，也没有最小值。

(4)

代数学基本定理：任何复系数非常值多项式至少有一个复数根。

3.1.6 函数的一致连续性

重要概念回顾 一致连续：称函数$f:I\to \mathbb{R}$在$K\subseteq I$上是一致连续的，若$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }\delta >0$，使得$\mathrm{\forall }x,y\in K$，$|x-y|<\delta ⟹|f(x)-f(y)|<\epsilon$。

重要定理回顾 设$f:I\to \mathbb{R}$连续，$K\subseteq I$是有界闭集. 则$f$在$K$上是一致连续的。

应用

(1)

称函数$f:I\to \mathbb{R}$是一个Lipschitz函数，若$\mathrm{\exists }L>0$，使得$\mathrm{\forall }x,y\in I$，$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$。Lipschitz函数是一致连续的。

(2)

函数$\sqrt{x}$在$[0,+\mathrm{\infty })$上是一致连续的。

(3)

函数$x^2$在$\mathbb{R}$上不是一致连续的，但在任何有界闭区间上都是一致连续的。

(4)

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sin \sqrt{x^2+1}-\sin x)=0$。