3.1 知识点复习

3.1.1 单侧极限与间断,单调函数的极限与连续性

重要概念回顾

(1)

单侧极限:设aR是集合I的一个聚点,称右极限f(a+)=limxa+f(x)=A,若ε>0δ>0,使得xI(a,a+δ)|f(x)A|<ε

(2)

单侧连续:称fa处右连续,若limxa+f(x)=f(a)

(3)

间断点:设aR是集合I的一个聚点,称aR是函数f:IR的间断点,若fa处无定义或不连续。间断点可分为:

  • 第一类间断点limxaf(x)limxa+f(x)都存在,又可细分为:

    • 可去间断点limxaf(x)=limxa+f(x),但fa处无定义或f(a)limxaf(x)
    • 跳跃间断点limxaf(x)limxa+f(x)
  • 第二类间断点limxaf(x)limxa+f(x)至少有一个不存在。

重要定理回顾

(1)

对单侧极限,上述(双侧)极限所有的性质(唯一性、四则运算、复合函数、夹挤定理、保序性和有界性)都成立。

(2)

单调有界蕴涵单侧极限存在:设f:(a,b)R单调不减。

  • f(a,b)内有上界,则limxbf(x)存在,且等于supx(a,b)f(x)
  • f(a,b)内有下界,则limxa+f(x)存在,且等于infx(a,b)f(x)
(3)

单调函数的连续性、反函数的连续性:设IR是区间,f:IR是单调函数,则

  • f连续当且仅当f(I)是区间。
  • f是严格单调的连续函数,则f1:f(I)I连续。

应用

(1)

各类间断点的判断。所有有理数点都是Riemann函数的可去间断点,所有实数点都是Dirichlet函数的第二类间断点。

(2)

f:IR单调。且fx0左右两侧任意近旁有定义,则

  • 单侧极限f(x0),f(x0+)存在,且f(x0)f(x0)f(x0+)
  • f(x0)<f(x0+),则fx0处跳跃间断。
  • f(x0)=f(x0+),则fx0处连续
(3)

乘方、开方、指数、对数、幂函数的连续性。

3.1.2 无穷远、无穷小与无穷大,数列的极限

重要概念回顾

(1)

±作为聚点。

(2)

函数在无穷远处的极限:设f:IR+I的聚点(N>0I[N,+)),称limx+f(x)=A,若ε>0N>0,使得xx>N|f(x)A|<ε,类似。

(3)

无穷小、无穷大、正(负)无穷大。

(4)

数列作为定义在自然数(正整数集)上的函数,无穷小数列、无穷大数列、正(负)无穷大数列。

(5)

邻域、去心邻域、左(右)侧去心邻域、±的邻域、的邻域。

(6)

垂直渐近线、斜渐近线、水平渐近线。

重要定理回顾

(1)

复合函数的极限:设limxcf(x)=AlimyAg(y)=B,其中c,A,BR{+,,}或为某个实数的某一侧,则在下述三个条件之一成立时,都有limxcg(f(x))=B

  • A=+,,
  • A是实数或实数的某测,且f总在A的去心邻域中。
  • A是实数或实数的某侧,且gA处连续。
(2)

Heine定理

  • 函数gy0处连续当且仅当对g的定义域中任意满足limn+yn=y0的数列{yn}n1+,都有limn+g(yn)=g(y0)
  • limycg(y)=A当且仅当对满足limn+yn=cync的任意数列{yn}n1+,都有limn+g(yn)=A
(3)

子列:设limn+an=A,则对任意单射f:NN,都有limk+af(k)=A。特别地,当f是增函数时,称数列{af(k)}k1+{an}n1+的子列。

(4)

对极限为实数或+,的情况,极限的保序性、单调有界收敛的结论也都成立。

应用

(1)

limxcf(x)=当且仅当M>0,存在c的一个去心邻域V使得fxV|f(x)|>M

(2)

α>0,则limx+xα=+limx0+xα=0

(3)

a>1,则limxax=0limx+ax=+

(4)

若当xc时,f1,f2都是无穷小,f3有界,则当xc时,f1+f2,f1f3也是无穷小。

(5)

limxcf(x)=(±)

  • g有正下界,则limxcf(x)g(x)=(±)
  • g有界,则limxc[f(x)+g(x)]=(±)
  • limxcf(x)=+,且f(x)g(x),则limxcg(x)=+
(6)

limn+(1+1n)n=limn+(1+1n)n+1=limn+k=0n1k!=limx+(1+1x)x=e

(7)

limx0(1+x)1x=elimx0ln(1+x)x=limx0ex1x=1

(1)

有限多个邻域(去心邻域)的交集仍是邻域(去心邻域)。

(2)

极限的邻域表述:limxcf(x)=A,即对A的任何邻域W,存在c的去心邻域V使得f(V)W

(3)

连续的邻域表述:fx0处连续,即对f(x0)的任何邻域W,存在x0的邻域V使得f(V)W

3.1.3 实数的连续性,迭代与不动点

重要概念回顾

(1)

闭集、闭区间。

(2)

Cauchy数列ε>0N>0使得m,n>N|aman|<ε

重要定理回顾

(1)

有界闭区间套定理:设一列非空有界闭区间[an,bn]构成一个区间套,即nN[an+1,bn+1][an,bn],则n1[an,bn]。若进一步limn+(bnan)=0,则存在唯一的实数A使得n1[an,bn]={A}

(2)

列紧性:任何有界的实数列必含有收敛的子列。

(3)

数列收敛的Cauchy准则:数列{xn}n1收敛当且仅当它是一个Cauchy数列。

应用

(1)

Banach压缩不动点定理:设I是闭集,f:IR满足f(I)I,且存在常数0<λ<1使得x,yI|f(x)f(y)|λ|xy|(此时称f为集合I上的一个压缩映射),则存在唯一的xI使得f(x)=x(即xf的不动点);并且xIlimn+f(n)(x)=x,其中f(n)表示fn次迭代。

(2)

考虑f:RRf(x)=cosxxn=f(n)(x0),则x0R{xn}收敛于f(x)的不动点,即方程x=cosx的唯一实数解。

3.1.4 连续函数的介值性质,反函数的连续性

重要概念回顾 基本初等函数、初等函数。

重要定理回顾

(1)

连续函数的介值性质:设IR是区间,f:IR连续,则f(I)={f(x)|xI}也是区间。等价说法是,若x1,x2If(x1)<f(x2),则y(f(x1),f(x2)),存在介于x1,x2之间的x使得f(x)=y

(2)

IR是区间,f:IR是连续单射,则f是严格单调函数,且f1:f(I)I是连续函数。

(3)

初等函数都是连续函数。

连续函数的介值性质也称连续函数的零点定理。

3.1.5 有界闭集上的连续函数

重要定理回顾

(1)

IR是有界闭集当且仅当I中任何数列都含有在I中收敛的子列。

(2)

IR是非空有界闭集,则I有最大值和最小值。

(3)

IR是有界闭集,f:IR连续. 则f(I)={f(x)|xI}是有界闭集。

(4)

IR是有界闭集,f:IR连续. 则f(I)={f(x)|xI}有最大值和最小值。

应用

(1)

f:(0,1)Rf(x)=1x是连续函数,但f在区间(0,1)内没有最大值和最小值。

(2)

f:[1,+)Rf(x)=1x是连续函数,但f在闭区间[1,+)内没有最大值和最小值。

(3)

函数(1)g(x)={(1)pp,x=qp,pN,qZ,gcd(p,q)=10,xQ 在区间[0,1]上既无上界也无下界,从而既没有最大值,也没有最小值。

(4)

代数学基本定理:任何复系数非常值多项式至少有一个复数根。

3.1.6 函数的一致连续性

重要概念回顾 一致连续:称函数f:IRKI上是一致连续的,若ε>0δ>0,使得x,yK|xy|<δ|f(x)f(y)|<ε

重要定理回顾f:IR连续,KI是有界闭集. 则fK上是一致连续的。

应用

(1)

称函数f:IR是一个Lipschitz函数,若L>0,使得x,yI|f(x)f(y)|L|xy|。Lipschitz函数是一致连续的。

(2)

函数x[0,+)上是一致连续的。

(3)

函数x2R上不是一致连续的,但在任何有界闭区间上都是一致连续的。

(4)

limx+(sinx2+1sinx)=0