3.1 知识点复习
3.1.1 单侧极限与间断,单调函数的极限与连续性
- (1)
-
单侧极限:设
是集合 的一个聚点,称右极限 ,若 , ,使得 , 。 - (2)
-
单侧连续:称
在 处右连续,若 。 - (3)
-
间断点:设
是集合 的一个聚点,称 是函数 的间断点,若 在 处无定义或不连续。间断点可分为:-
第一类间断点:
和 都存在,又可细分为:- 可去间断点:
,但 在 处无定义或 。 - 跳跃间断点:
。
- 可去间断点:
- 第二类间断点:
和 至少有一个不存在。
-
- (1)
-
对单侧极限,上述(双侧)极限所有的性质(唯一性、四则运算、复合函数、夹挤定理、保序性和有界性)都成立。
- (2)
-
单调有界蕴涵单侧极限存在:设
单调不减。- 若
在 内有上界,则 存在,且等于 。 - 若
在 内有下界,则 存在,且等于 。
- 若
- (3)
-
单调函数的连续性、反函数的连续性:设
是区间, 是单调函数,则 连续当且仅当 是区间。- 若
是严格单调的连续函数,则 连续。
- (1)
-
各类间断点的判断。所有有理数点都是Riemann函数的可去间断点,所有实数点都是Dirichlet函数的第二类间断点。
- (2)
-
设
单调。且 在 左右两侧任意近旁有定义,则- 单侧极限
存在,且 。 - 若
,则 在 处跳跃间断。 - 若
,则 在 处连续
- 单侧极限
- (3)
-
乘方、开方、指数、对数、幂函数的连续性。
3.1.2 无穷远、无穷小与无穷大,数列的极限
- (1)
-
作为聚点。 - (2)
-
函数在无穷远处的极限:设
, 是 的聚点( , ),称 ,若 , ,使得 , 。 类似。 - (3)
-
无穷小、无穷大、正(负)无穷大。
- (4)
-
数列作为定义在自然数(正整数集)上的函数,无穷小数列、无穷大数列、正(负)无穷大数列。
- (5)
-
邻域、去心邻域、左(右)侧去心邻域、
的邻域、 的邻域。 - (6)
-
垂直渐近线、斜渐近线、水平渐近线。
- (1)
-
复合函数的极限:设
, ,其中 或为某个实数的某一侧,则在下述三个条件之一成立时,都有 : 。 是实数或实数的某测,且 总在 的去心邻域中。 是实数或实数的某侧,且 在 处连续。
- (2)
-
Heine定理:
- 函数
在 处连续当且仅当对 的定义域中任意满足 的数列 ,都有 。 当且仅当对满足 且 的任意数列 ,都有 。
- 函数
- (3)
-
子列:设
,则对任意单射 ,都有 。特别地,当 是增函数时,称数列 是 的子列。 - (4)
-
对极限为实数或
的情况,极限的保序性、单调有界收敛的结论也都成立。
- (1)
-
当且仅当 ,存在 的一个去心邻域 使得 , 。 - (2)
-
设
,则 , 。 - (3)
-
设
,则 , 。 - (4)
-
若当
时, 都是无穷小, 有界,则当 时, 也是无穷小。 - (5)
-
设
。- 若
有正下界,则 。 - 若
有界,则 。 - 若
,且 ,则 。
- 若
- (6)
-
。 - (7)
-
, 。
- (1)
-
有限多个邻域(去心邻域)的交集仍是邻域(去心邻域)。
- (2)
-
极限的邻域表述:
,即对 的任何邻域 ,存在 的去心邻域 使得 。 - (3)
-
连续的邻域表述:
在 处连续,即对 的任何邻域 ,存在 的邻域 使得 。
3.1.3 实数的连续性,迭代与不动点
- (1)
-
闭集、闭区间。
- (2)
-
Cauchy数列:
, 使得 , 。
- (1)
-
有界闭区间套定理:设一列非空有界闭区间
构成一个区间套,即 , ,则 。若进一步 ,则存在唯一的实数 使得 。 - (2)
-
列紧性:任何有界的实数列必含有收敛的子列。
- (3)
-
数列收敛的Cauchy准则:数列
收敛当且仅当它是一个Cauchy数列。
- (1)
-
Banach压缩不动点定理:设
是闭集, 满足 ,且存在常数 使得 , (此时称 为集合 上的一个压缩映射),则存在唯一的 使得 (即 是 的不动点);并且 , ,其中 表示 的 次迭代。 - (2)
-
考虑
, , ,则 , 收敛于 的不动点,即方程 的唯一实数解。
3.1.4 连续函数的介值性质,反函数的连续性
- (1)
-
连续函数的介值性质:设
是区间, 连续,则 也是区间。等价说法是,若 , ,则 ,存在介于 之间的 使得 。 - (2)
-
设
是区间, 是连续单射,则 是严格单调函数,且 是连续函数。 - (3)
-
初等函数都是连续函数。
3.1.5 有界闭集上的连续函数
- (1)
-
是有界闭集当且仅当 中任何数列都含有在 中收敛的子列。 - (2)
-
设
是非空有界闭集,则 有最大值和最小值。 - (3)
-
设
是有界闭集, 连续. 则 是有界闭集。 - (4)
-
设
是有界闭集, 连续. 则 有最大值和最小值。
- (1)
-
, 是连续函数,但 在区间 内没有最大值和最小值。 - (2)
-
, 是连续函数,但 在闭区间 内没有最大值和最小值。 - (3)
-
函数
在区间 上既无上界也无下界,从而既没有最大值,也没有最小值。 - (4)
-
代数学基本定理:任何复系数非常值多项式至少有一个复数根。
3.1.6 函数的一致连续性
重要概念回顾
一致连续:称函数
- (1)
-
称函数
是一个Lipschitz函数,若 ,使得 , 。Lipschitz函数是一致连续的。 - (2)
-
函数
在 上是一致连续的。 - (3)
-
函数
在 上不是一致连续的,但在任何有界闭区间上都是一致连续的。 - (4)
-
。