8.1 知识点复习

8.1.1 原函数与不定积分

重要概念回顾

(1)

原函数、不定积分、被积函数。

(2)

斜率场、方向场、积分曲线。

重要定理回顾

(1)

设$I$是区间，$f:I\to \mathbb{R}$连续，则$f$在$I$上有原函数。进一步地，$\mathrm{\forall }{x}_0\in I$、$\mathrm{\forall }{y}_0\in \mathbb{R}$，$f$有唯一的原函数$F$满足$F(x_0)=y_0$。

(2)

设$I$是区间，$F,G$都是$f$在$I$上的原函数，则$F-G$是常值函数，从而$$\begin{array}{}\text{(1)}& \int f(x)\mathrm{d}x=\{F+C\mid C\in \mathbb{R}\}=:F(x)+C\end{array}$$

8.1.2 不定积分的运算性质

重要定理回顾

(1)

线性：设$F,G$分别是$f,g$在$I$上的原函数，则$\lambda F+\mu G$是$\lambda f+\mu g$的原函数，即$$\begin{array}{}\text{(2)}& \int [\lambda f(x)+\mu g(x)]\mathrm{d}x=\lambda \int f(x)\mathrm{d}x+\mu \int g(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

(2)

第一换元法：设$F$是$f$在$I$上的原函数，$g:J\to I$可微，则$F(g(x))$是$f(g(x))g^{\prime }(x)$在$J$上的原函数，即$$\begin{array}{}\text{(3)}& \int f(g(x))g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int f(u)\mathrm{d}u{|}_{u=g(x)}=F(g(x))+C\end{array}$$

(3)

第二换元法：设$F$是$f$在$I$上的原函数，$g:J\to I$可微且可逆，$G$是$f(g(u))g^{\prime }(u)$的原函数，则$$\begin{array}{}\text{(4)}& \int f(x)\mathrm{d}x=\int f(g(u))g^{\prime }(u)\mathrm{d}u{|}_{u=g^{-1}(x)}=G(u)+C=G(g^{-1}(x))+C\end{array}$$

(4)

分部积分：设$f,g\in {\mathcal{C}}^1$，则$$\begin{array}{}\text{(5)}& \int f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

注 若等式两侧都有不定积分号，例如$\int h(x)\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(x)\mathrm{d}x$，这实际上表示$f,g,h$的原函数$F,G,H$满足：$\mathrm{\exists }C\in \mathbb{R}$使得$H(x)=F(x)+G(x)+C$。

8.1.3 有理函数的不定积分以及可转化为有理函数的不定积分

重要概念回顾

(1)

有理函数：$\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P,Q$都是多项式。

(2)

最简分式：$\frac{1}{(x-a{)}^k}$、$\frac{ax+b}{(x^2+px+q{)}^k}$，其中$k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$、$p^2<4q$。

重要定理回顾

(1)

任何实数系数有理函数都可表示为一个多项式与有限多个最简分式的线性组合，其中最简分式的分母是原有理函数分母多项式的因子。

(2)

任何实数系数有理函数的不定积分都是初等函数。

应用

(1)

计算有理函数的不定积分，关键是把有理函数分解为最简分式的线性组合。

(2)

三角有理分式：形如$\int R(\cos \theta ,\sin \theta )\mathrm{d}\theta$的积分，其中$R$是（二元）有理函数，可以采用万能公式$$\begin{array}{}\text{(6)}& \sin \theta =\frac{2t}{1+t^2},\cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2},t=\tan \frac{\theta }{2}\end{array}$$ 换元得到$$\begin{array}{}\text{(7)}& \int R(\cos \theta ,\sin \theta )\mathrm{d}\theta =\int R(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t\end{array}$$

(3)

正切有理分式：作为特例，形如$\int R(\tan x)\mathrm{d}x$的积分，可以采用$t=\tan \theta$换元得到$$\begin{array}{}\text{(8)}& \int R(\tan x)\mathrm{d}x=\int \frac{R(t)}{1+t^2}\mathrm{d}t\end{array}$$

(4)

部分根式：例如$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{rl}\int R(x,\sqrt{1-x^2})\mathrm{d}x& =\int R(\cos \theta ,\sin \theta )(-\sin \theta )\mathrm{d}\theta ,\theta =\arccos x\\ & =\int R(\sin \theta ,\cos \theta )\cos \theta \mathrm{d}\theta ,\theta =\arcsin x\end{array}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{rl}\int R(x,\sqrt{x^2+1})\mathrm{d}x& =\int R(\sinh t,\cosh t)\cosh t\mathrm{d}t,t={\sinh }^{-1}x\\ & =\int R(\frac{t^2-1}{2t},\frac{t^2+1}{2t})\frac{t^2+1}{2t^2}\mathrm{d}t,x=\frac{t^2-1}{2t}\\ & =\int R(\tan t,\sec t){\sec }^{2}t\mathrm{d}t,x=\tan t\end{array}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{rl}\int R(x,\sqrt{x^2-1})\mathrm{d}x& =\int R(\cosh t,\sinh t)\sinh t\mathrm{d}t,t={\cosh }^{-1}x\\ & =\int R(\frac{t^2+1}{2t},\frac{t^2-1}{2t})\frac{t^2-1}{2t^2}\mathrm{d}t,x=\frac{t^2+1}{2t}\\ & =\int R(\sec t,\tan t)\sec t\tan t\mathrm{d}t,x=\sec t\end{array}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(12)}& \int R(x,\sqrt[n]{\frac{px+q}{rx+s}})\mathrm{d}x,t=\sqrt[n]{\frac{px+q}{rx+s}}\end{array}$$

(5)

有理曲线：对平面上的有理曲线$\gamma :t\mapsto (x,y)$，其中$x,y$是关于$t$的有理函数，则对于有理函数$R(x,y)$，沿着曲线$\gamma$有$$\begin{array}{}\text{(13)}& \int R(x,y)\mathrm{d}x=\int R(x(t),y(t))x^{\prime }(t)\mathrm{d}t\end{array}$$