13.2 知识点复习

13.2.1 可降阶的高阶方程

常见可降阶的高阶方程包括：

(1)

不显含$y,y^{\prime },\cdots ,y^{(k-1)}$的高阶方程：$$\begin{array}{}\text{(1)}& F(x,y^{(k)},y^{(k+1)},\cdots ,y^{(n)})=0\stackrel{u=y^{(k)}}{\Rightarrow }F(x,u,u^{\prime },\cdots ,u^{(n-k)})=0\end{array}$$

(2)

不显含$x$的高阶方程：$$\begin{array}{}\text{(2)}& F(y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n)})\stackrel{u=y^{\prime }}{\Rightarrow }F(y,u,\left(u\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\right)u,\cdots ,{\left(u\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\right)}^{n-1}u)=0\end{array}$$

(3)

因式分解法：设$\mathcal{L}$和${\mathcal{L}}_i$为线性微分算子。若线性常微分方程$\mathcal{L}u=f$可因式分解为${\mathcal{L}}_1{\mathcal{L}}_2\cdots {\mathcal{L}}_{m}u=f$，则可逐步求解每一个方程${\mathcal{L}}_i{u}_i=v_{i-1}$实现降阶，如图13.2.1所示。需要注意的是，这些线性算子之间彼此通常不对易，因此不能随意交换次序。

(4)

Euler方程：形如$$\begin{array}{}\text{(3)}& x^n{y}^{(n)}+a_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{1}x{y}^{\prime }+a_{0}y=f,a_i\in \mathbb{R}\end{array}$$ 的方程可通过换元$t=\ln |x|$转化为常系数线性微分方程，也可以因式分解为以下形式：$$\begin{array}{}\text{(4)}& (x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-{\lambda }_1)(x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-{\lambda }_2)\cdots (x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-{\lambda }_n)y=f\end{array}$$ 随后采用因式分解法求解。

13.2.2 降维

降维指减少微分方程组中未知函数之间的耦合，可以降低方程的复杂度，使方程更易于求解。例如，若一阶微分方程组具有如下形式：$$\begin{array}{}\text{(5)}& \{\begin{array}{l}{y}_1^{\prime }=f_1(x,y_1)\\ y_2^{\prime }=f_2(x,y_1,y_2)\\ ⋮\\ y_n^{\prime }=f_n(x,y_1,y_2,\cdots ,y_n)\end{array}\end{array}$$ 则可以从第一个方程解出$y_1(x)$，将其代入第二个方程，得到$y_2^{\prime }=f(x,y_1(x),y_2)$，进而解出$y_2(x)$；以此类推。

13.2.3 高阶线性微分方程

首先我们考虑常系数齐次方程。设$P$为多项式（称为特征多项式），则方程可表示为$$\begin{array}{}\text{(6)}& P\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)y=0\end{array}$$ 若${\lambda }_0$是多项式$P$的$k$重根，即$$\begin{array}{}\text{(7)}& P({\lambda }_0)=P^{\prime }({\lambda }_0)=\cdots =P^{(k-1)}({\lambda }_0)=0,P^{(k)}({\lambda }_0)\ne 0\end{array}$$ 则$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\mathrm{e}}^{{\lambda }_{0}x},{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{0}x}x,\cdots ,{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{0}x}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}\end{array}$$ 是方程的$k$个线性无关解，构成解（子）空间的一组基。因此，我们可以通过求解特征方程$P(\lambda )=0$的所有根，找到所有$n$个（线性无关的）齐次解，其线性组合即为方程的通解。

非常系数齐次方程没有什么通用的方法，仅部分可因式分解的方程或Euler方程等特殊情况可以求解。

其次考虑非齐次方程，求解的基本思想是常数变易法。设$\mathcal{L}$为一般的线性微分算子（可以非常系数），则方程可表示为$$\begin{array}{}\text{(9)}& \mathcal{L}y=\sum _{i=0}^n{a}_i(x)\frac{{\mathrm{d}}^i}{\mathrm{d}{x}^i}y=f,a_n(x)=1\end{array}$$

第一种方法只需找到一个（非零）齐次解$y_0$。设$y(x)=c(x)y_0(x)$，则$$\begin{array}{}\text{(10)}& f=\mathcal{L}(c{y}_0)=\sum _{i=0}^n{a}_i(c{y}_0{)}^{(i)}=c\underset{=\mathcal{L}(y_0)=0}{\underbrace{\sum _{i=0}^n{a}_i{y}_0^{(i)}}}+\sum _{i=1}^n{a}_i\sum _{j=1}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})c^{(j)}{y}_0^{(i-j)}\end{array}$$ 令$u=c^{\prime }$，由此可得关于$u$的$n-1$阶线性微分方程，实现降阶：$$\begin{array}{}\text{(11)}& \sum _{j=1}^n{c}^{(j)}\sum _{i=j}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})a_i{y}_0^{(i-j)}=\underset{{\mathcal{L}}_1}{\underbrace{\sum _{k=0}^{n-1}\left[\sum _{i=k+1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k+1})a_i{y}_0^{(i-k-1)}\right]\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}}}u=f\end{array}$$

第二种方法需要找到所有齐次解，称作Duhamel方法或齐次化原理。设$$\begin{array}{}\text{(12)}& y=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)+\cdots +c_n(x)y_n(x)\end{array}$$ 其中$y_1,y_2,\cdots ,y_n$是所有齐次解，$c_1,c_2,\cdots ,c_n$是待定函数。为了确定这些函数，引入条件$$\begin{array}{}\text{(13)}& \left(\begin{array}{cccc}{y}_1& y_2& \cdots & y_n\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime }& \cdots & y_n^{\prime }\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_1^{(n-1)}& y_2^{(n-1)}& \cdots & y_n^{(n-1)}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1^{\prime }\\ c_2^{\prime }\\ ⋮\\ c_n^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ f\end{array}\right)\end{array}$$ 其中矩阵$W(x)=W[y_1,y_2,\cdots ,y_n](x):=\cdots$称为齐次解的Wronsky矩阵。求解这个线性方程组得到$c_1^{\prime },c_2^{\prime },\cdots ,c_n^{\prime }$，积分可得$c_1,c_2,\cdots ,c_n$，从而得到非齐次方程的通解。

对于某些特殊的方程，若能方便求得（猜到）非齐次方程的特解，则可利用“齐次方程的通解＋非齐次方程的特解”得到非齐次方程的通解。例如：若$a_0,a_1,\cdots ,a_n$是常数，$f=e^{\alpha x}[\cos (\beta x)P_1(x)+\sin (\beta x)P_2(x)]$，则可猜测特解为$y_{\mathrm{p}}=e^{\alpha x}[\cos (\beta x)Q_1(x)+\sin (\beta x)Q_2(x)]$，其中$P_1,P_2,Q_1,Q_2$是多项式。这个例子可退化至只有多项式、只有三角函数、只有指数函数等其他特殊情况。

13.2.4 二阶线性微分方程

在所有高阶微分方程当中，二阶线性微分方程最为重要，所以我们单开一节来讨论它。二阶线性微分方程的一般形式为$$\begin{array}{}\text{(17)}& y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)\end{array}$$ 若$f=0$则称为齐次方程，否则成为非齐次方程；若$p,q=\mathrm{const}$则称为常系数方程，否则称为变系数方程。根据线性方程解的结构“非齐次方程的通解＝齐次方程的通解＋非齐次方程的特解”，我们主要关心齐次方程的通解，非齐次方程的通解可通过猜特解、常数变易等方法求得。

对于二阶常系数齐次线性方程，我们可利用熟知的特征方程法：设$\lambda$满足一元二次方程${\lambda }^2+p\lambda +q=0$，依据其根的情况总共可分为四类（或三类）：

• （过）两个不相等的实根${\lambda }_1,{\lambda }_2$：通解为$y=c_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}+c_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$；
• （临）两个相等的实根${\lambda }_1={\lambda }_2$：通解为$y=(c_1+c_{2}x){\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$；
• （欠）两个共轭复根${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm \beta \mathrm{i}$：通解为$y={\mathrm{e}}^{\alpha x}(c_1\cos \beta x+c_2\sin \beta x)$；
• （无）两个共轭纯虚根${\lambda }_{1,2}=\pm \beta \mathrm{i}$：通解为$y=c_1\cos \beta x+c_2\sin \beta x$。

对于二阶变系数齐次线性方程，若方程可以因式分解，则可以通过求解两个一阶线性方程来求解；若不能因式分解，则需要得到齐次方程的特解$y_1$，利用常数变易法可设$y=c(x)y_1(x)$，代入原方程可得$$\begin{array}{}\text{(18)}& c^{″}+[p(x)+\frac{2y_1^{\prime }(x)}{y_1(x)}]c^{\prime }=0\end{array}$$ 直接代入式$(\text{???})$（或利用分离变量法）后积分可得$$\begin{array}{}\text{(19)}& c(x)=C_1+C_2\int \exp [-\int (p+\frac{2y_1^{\prime }}{y_1})\mathrm{d}x]\mathrm{d}x\end{array}$$ 注意到$$\begin{array}{}\text{(20)}& \exp (-\int \frac{2y_1^{\prime }}{y_1}\mathrm{d}x)=\exp (-2\int \frac{\mathrm{d}{y}_1}{y_1})=\exp (-2\ln y_1)=\frac{1}{y_1^2}\end{array}$$ 设$P$是$p$的一个原函数，则原方程的通解为$$\begin{array}{}\text{(21)}& y=c(x)y_1(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_1(x){\int }_{x_0}^x\frac{{\mathrm{e}}^{-P(t)}}{y_1(t{)}^2}\mathrm{d}t\end{array}$$ 如何观察出方程的特解呢？这通常需要一定的经验和技巧，例如：

• 若$\mathrm{\exists }m\in \mathbb{R}$使得$m^2+mp(x)+q(x)=0$，则原方程有一特解$y_{\mathrm{p}}={\mathrm{e}}^{mx}$；
• 若$p(x)+xq(x)=0$，则原方程有一特解$y_{\mathrm{p}}=x$；
• 若$p,q$都是有理函数（包括多项式），则可以猜测特解为多项式（不总是靠谱）。