知识点复习

6.2 知识点复习

6.2.1 微分中值定理

重要概念回顾

(1): 极大值点、极大值、极小值点、极小值、极值点、极值。
(2): 临界点（驻点）：若 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f$ 的一个临界点。

重要定理回顾

(1): Fermat引理：若 $f$ 在极值点 $x_{0}$ 处可微，则 $x_{0}$ 是 $f$ 的临界点。
(2): Rolle定理：设 $f$ 在 $(a, b)$ 内可微（ $- \infty \leq a < b \leq + \infty$ ），并且 $\begin{matrix} (1) & lim_{x \to a^{+}} f (x) = lim_{x \to b^{-}} f (x) = A \in R \cup {\pm \infty} \end{matrix}$ 则 $\exists ξ \in (a, b)$ 使得 $f^{'} (ξ) = 0$ 。
(3): Cauchy中值定理：设 $- \infty \leq a < b \leq + \infty$ ，函数 $x (t), y (t)$ 在区间 $(a, b)$ 内可微，满足极限 $x (a^{+}), x (b^{-}), y (a^{+}), y (b^{-})$ 都收敛，则 $\exists ξ \in (a, b)$ 使得 $\begin{matrix} (2) & x^{'} (ξ) [y (b^{-}) - y (a^{+})] - y^{'} (ξ) [x (b^{-}) - x (a^{+})] = 0 \end{matrix}$
(4): Lagrange中值定理：设函数 $f$ 在有界闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可微，则 $\exists ξ \in (a, b)$ 使得 $\begin{matrix} (3) & f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a) \end{matrix}$
(5): 在区间 $I$ 上， $f$ 为常数当且仅当 $f^{'} \equiv 0$ 。

应用

(1): 设 $A > \frac{π}{2}$ ， $f (x) := {\begin{cases} x + A x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ ，则 $f^{'} (0) = 1$ ，但 $f$ 在 $x = 0$ 的任何邻域内均不单调。
(2): 导数有界的函数都是Lipschitz函数，从而是一致连续的。
(3): 微分方程 $y^{'} = α y$ 的所有解是 $y = C e^{α x}$ ，其中 $C$ 为任意常数。
(4): 微分方程 $y^{″} - 3 y^{'} + 2 y = 0$ 的所有解是 $y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x}$ ，其中 $C_{1}, C_{2}$ 为任意常数。
(5): 证明：对区间 $[\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 1]$ 中的任何有理数 $\frac{p}{q}$ ，都有 $\begin{matrix} (4) & | \frac{p}{q} - \sqrt{2} | \geq \frac{1}{2 (\sqrt{2} + 1) q^{2}} \end{matrix}$

注

(1): 在Rolle定理中，若 $a, b \in R$ ，则定理结论可写成： $\exists θ \in (0, 1)$ 使得 $f^{'} (θ a + (1 - θ) b) = 0$ 。
(2): 在Cauchy中值定理中，若 $x (b^{-}) \neq x (a^{+})$ ，则定理结论可写成 $\begin{matrix} (5) & \frac{y (b^{-}) - y (a^{+})}{x (b^{-}) - x (a^{+})} = \frac{y^{'} (ξ)}{x^{'} (ξ)} \end{matrix}$
(3): 在以上中值定理中，若 $a, b \in R$ ，则“函数在区间端点的（单侧）极限存在”可用“函数在区间端点处（单侧）连续”代替。
(4): Cauchy中值定理的几何解释：平面曲线 $Γ : (x (t), y (t))$ 在某点 $P (x (ξ), y (ξ))$ 处的切向量 $(x^{'} (ξ), y^{'} (ξ))$ 与点 $A (x (a^{+}), y (a^{+}))$ 到点 $B (x (b^{-}), y (b^{-}))$ 的连线的 $l_{A B}$ 平行。
(5): Cauchy中值定理对二维以上空间中的曲线不成立。

6.2.2 函数的单调性与极值

重要定理回顾

(1)

Darboux定理：区间上的导函数具有介值性质。设函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续、在 $(a, b)$ 内可导，且 $f_{+}^{'} (a) < f_{-}^{'} (b)$ ，则 $\forall c \in (f_{+}^{'} (a), f_{-}^{'} (b))$ ， $\exists ξ \in (a, b)$ 使得 $f^{'} (ξ) = c$ 。由此可知 $f$ 的导函数 $f^{'}$ 的间断点只可能是第二类间断点。

(2)

函数的单调性：设 $f$ 在区间 $I$ 上可微。

若 $\forall x \in I$ ， $f^{'} (x) > 0$ （ $< 0$ ），则 $f$ 在 $I$ 上是增函数（减函数）。
$f$ 在区间 $I$ 上单调不减（不增）当且仅当 $f^{'} (x) \geq 0$ （ $\leq 0$ ）。
若 $\forall x \in I$ ， $f^{'} (x) \neq 0$ ，则 $f$ 在 $I$ 上严格单调。

(3)

函数的极值：设 $n \geq 1$ ， $\exists δ > 0$ 使得 $f$ 在 $(x_{0} - δ, x_{0} + δ)$ 上连续。

若 $\forall x \in (x_{0} - δ, x_{0})$ ， $f^{'} (x) \leq 0$ ； $\forall x \in (x_{0}, x_{0} + δ)$ ， $f^{'} (x) \geq 0$ ，则 $x_{0}$ 是 $f$ 在区间 $(x_{0} - δ, x_{0} + δ)$ 上的最小值点。
若 $\forall x \in (x_{0} - δ, x_{0})$ ， $f^{'} (x) \geq 0$ ； $\forall x \in (x_{0}, x_{0} + δ)$ ， $f^{'} (x) \leq 0$ ，则 $x_{0}$ 是 $f$ 在区间 $(x_{0} - δ, x_{0} + δ)$ 上的最大值点。
若 $f^{'} (x_{0}) = 0$ 且 $f^{″} (x_{0}) > 0$ ，则 $x_{0}$ 是 $f$ 的极小值点。
若 $f^{'} (x_{0}) = 0$ 且 $f^{″} (x_{0}) < 0$ ，则 $x_{0}$ 是 $f$ 的极大值点。
若 $f^{'} (x_{0}) = f^{″} (x_{0}) = \dots = f^{(2 n - 1)} (x_{0}) = 0$ ， $f^{(2 n)} (x_{0}) > 0$ （ $< 0$ ），则 $x_{0}$ 是 $f$ 的极小值点（极大值点）。
若 $f^{'} (x_{0}) = f^{″} (x_{0}) = \dots = f^{(2 n)} (x_{0}) = 0$ ， $f^{(2 n + 1)} (x_{0}) > 0$ （ $< 0$ ），则 $f$ 在 $x_{0}$ 的一个邻域内单调增（减）。

应用

(1)

海滩上的救生员看到海中有人溺水，救生员在沙滩上的奔跑速度为， $v_{1}$ ，在水中的游泳速度为 $v_{2}$ ，求救生员的最佳救援路线。

(2)

$f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数。

(3)

Newton法的局部收敛性与二阶收敛性：设 $f : [a, b] \to R$ 是 $C^{1}$ 函数， $f (x^{*}) = 0$ ， $f^{'} (x^{*}) \neq 0$ ，则

在 $x^{*}$ 的一个小邻域中，Newton迭代 $\begin{matrix} (6) & x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})} \end{matrix}$ 得到的数列 ${x_{n}}_{n \geq 0}$ 收敛到 $x^{*}$ 。
若 $f \in C^{2}$ ，则 $\exists C > 0$ 使得数列 ${x_{n}}_{n \geq 0}$ 满足 $\begin{matrix} (7) & | x_{n + 1} - x^{*} | \leq C | x_{n} - x^{*} |^{2}, C = \frac{max_{x \in [a, b]} | f^{″} (x) |}{min_{x \in [a, b]} | f^{'} (x) |} \end{matrix}$

由此可以看出，当 $y = f (x)$ 近似直线（二阶导数 $f^{″}$ 绝对值小）且斜率较大（一阶导数 $f^{'}$ 绝对值大）时，Newton法有很好的收敛性。

(4)

Newton法的全局收敛性：设 $f : [a, b] \to R$ 是 $C^{1}$ 凸的增函数， $f (a) < 0 < f (b)$ ，则 $\forall x_{0} \in (a, b)$ ，只要 $x_{0} - \frac{f (x_{0})}{f^{'} (x_{0})} < b$ ，由Newton迭代 $\begin{matrix} (8) & x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})} \end{matrix}$ 得到的数列 ${x_{n}}_{n \geq 0}$ 就收敛于 $f$ 的（唯一）零点 $x^{*}$ 。

注虽然在一点处的一阶导数无法提供局部的单调性结论，但在一点处的高阶导数是可以的。

6.2.3 L’Hôpital法则

重要定理回顾

(1)

L’Hôpital法则：设在 $a \in R \cup {\pm \infty}$ 的一个（单侧）去心邻域内， $f, g$ 可微， $g^{'} \neq 0$ ，且

$lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = 0$ ，或 $lim_{x \to a} g (x) = \infty$ 。
$lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = A \in R \cup {\pm \infty}$ 。

则 $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)}$ 存在，且为 $A$ 。

应用 $lim_{x \to + \infty} {(\frac{π}{2} - \arctan x)}^{\frac{1}{\ln x}} = e^{- 1}$ 。

注

(1)

广义L’Hôpital法则：不必要求 $lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ 存在，定理结论为下面的不等式： $\begin{matrix} (9) & \underset{x \to a}{lim inf} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} \leq \underset{x \to a}{lim inf} \frac{f (x)}{g (x)} \leq \underset{x \to a}{lim sup} \frac{f (x)}{g (x)} \leq \underset{x \to a}{lim sup} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} \end{matrix}$

(2)

洛必达法则“失效”的情况有哪些？¹

压根不是未定型： $\begin{matrix} (10) & lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 + \sin x}{1 - \cos x} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{(1 + \sin x)^{'}}{(1 - \cos x)^{'}} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos x}{\sin x} = 0 \end{matrix}$
求导后的极限不存在： $\begin{matrix} (11) & lim_{x \to \infty} \frac{x + \cos x}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sin x}{1} = Indeterminate \end{matrix}$
诈尸型（求导一次后不是未定型）： $\begin{matrix} (12) & lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin x}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \cos x}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1 \end{matrix}$
循环型： $\begin{matrix} (13) & lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = lim_{x \to \infty} \frac{x^{'}}{{(\sqrt{x^{2} + 1})}^{'}} = lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \dots \end{matrix}$
吸收型： $\begin{matrix} (14) & lim_{x \to 0} \frac{e^{- 1 / x^{2}}}{x^{2}} = 2 lim_{x \to 0} \frac{e^{- 1 / x^{2}}}{x^{5}} = 4 lim_{x \to 0} \frac{e^{- 1 / x^{2}}}{x^{8}} = \dots \end{matrix}$
极端复杂型： $\begin{matrix} (15) & lim_{x \to 0} \frac{7 x^{3} + 6 e^{- x^{2}} \sin x - 6 x}{3 \ln \frac{1 + x}{1 - x} - 6 x - 2 x^{3}} = \dots （本题要求6次导） \end{matrix}$
变限积分（本质上还是求导后的极限不存在）： $\begin{matrix} (16) & lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} | \sin t | d t = lim_{x \to \infty} | \sin x | = Indeterminate \end{matrix}$
抽象函数。

6.2.4 Taylor公式

重要概念回顾 Taylor多项式：设 $f$ 在 $x_{0}$ 处 $n$ 阶可微，称多项式 $\begin{matrix} (17) & T f_{n, x_{0}} (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} \end{matrix}$ 为 $f$ 在 $x_{0}$ 处的 $n$ 阶Taylor多项式。

重要定理回顾

(1)

Taylor多项式的性质：若 $f, g$ 在 $x_{0}$ 处 $n$ 阶可微，则

线性：对 $λ, μ \in R$ ，则 $T (λ f + μ g)_{n, x_{0}} = λ T f_{n, x_{0}} + μ T g_{n, x_{0}}$ 。
线性换元：对 $h (t) = f (λ t + μ)$ 及 $t_{0} = \frac{x_{0} - μ}{λ}$ ，成立 $T h_{n, t_{0}} (t) = T f_{n, x_{0}} (λ t + μ)$ 。
导数： $[T f_{n, x_{0}} (x)]^{'} = T (f^{'})_{n - 1, x_{0}} (x)$ 。

(2)

Peano余项的Taylor公式、Taylor多项式的唯一性：设 $f$ 在 $x_{0}$ 处 $n$ 阶可微，则多项式 $\begin{matrix} (18) & P_{n} (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + \frac{a_{2}}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{a_{n}}{n!} (x - x_{0})^{n} \end{matrix}$ 满足 $f (x) = P_{n} (x) + o ((x - x_{0})^{n}), x \to x_{0}$ 当且仅当 $P_{n} (x) = T f_{n, x_{0}} (x)$ ，即 $a_{k} = \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!}$ 。

(3)

设 $f$ 在 $x_{0}$ 处 $n$ 阶可微， $P_{n} (x)$ 是不超过 $n$ 次的多项式，则 $\begin{matrix} (19) & f (x) = P_{n} (x) + o ((x - x_{0})^{n}), x \to x_{0} \end{matrix}$ 当且仅当 $P_{n} (x_{0}) = f (x_{0})$ 且 $\begin{matrix} (20) & f^{'} (x) = P_{n}^{'} (x) + o ((x - x_{0})^{n - 1}), x \to x_{0} \end{matrix}$

(4)

Lagrange余项的Taylor公式：设 $f$ 在区间 $I$ 上 $n$ 阶可微， $x_{0} \in I$ ，则 $\forall x \in I$ ，存在介于 $x_{0}$ 与 $x$ 之间的 $ξ_{x}$ 使得 $\begin{matrix} (21) & f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \dots + \frac{f^{(n - 1)} (x_{0})}{(n - 1)!} (x - x_{0})^{n - 1} + \frac{f^{(n)} (ξ_{x})}{n!} (x - x_{0})^{n} \end{matrix}$

(5)

设 $f$ 在一个含 $x_{0}$ 在内的区间内有连续的 $n + 1$ 阶导函数，则当 $x \to x_{0}$ 时，有 $\begin{matrix} (22) & f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + O ((x - x_{0})^{n + 1}) \end{matrix}$

应用

(1): 设 $f$ 是偶函数，在 $x = 0$ 处 $2 n$ 阶可微，则 $T f_{2 n, 0} (x)$ 是偶函数。
(2): $e^{x} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + o (x^{n})$ ， $a^{x} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(\ln a)^{k}}{k!} x^{k} + o (x^{n})$ ， $x \to 0$ 。
(3): $\sin x = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k + 1)!} x^{2 k + 1} + o (x^{2 n + 1})$ ， $\cos x = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k)!} x^{2 k} + o (x^{2 n})$ ， $x \to 0$ 。
(4): $(1 + x)^{α} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{α}{k}) x^{k} + o (x^{n})$ ， $x \to 0$ ，其中 $(\binom{α}{k}) = \frac{α (α - 1) \dots (α - k + 1)}{k!}$ 。
(5): $\ln (1 + x) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} x^{k} + o (x^{n})$ ， $x \to 0$ 。
(6): $\arctan x = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{2 k + 1} x^{2 k + 1} + o (x^{2 n + 1})$ ， $x \to 0$ 。
(7): $\ln (1 + \sin x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{4}}{12} + o (x^{4})$ 。
(8): $lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin x) - \sin \ln (1 + x)}{e^{\arcsin x} - 1 - \arcsin (e^{x} - 1)} = 1$ 。
(9): $y = f (x)$ 在 $P (x_{0}, f (x_{0}))$ 处的密切圆半径 $R = \frac{(1 + f^{'} (x_{0})^{2})^{3 / 2}}{| f^{″} (x_{0}) |}$ ，曲率 $κ = \frac{1}{R} = \frac{| f^{″} (x_{0}) |}{(1 + f^{'} (x_{0})^{2})^{3 / 2}}$ 。
(10): 已知 $x_{n + 1} = \sin x_{n}$ ， $x_{n}$ 的渐进表达式为 $\begin{matrix} (23) & x_{n} = \sqrt{\frac{3}{n}} + o (\frac{1}{\sqrt{n}}), n \to + \infty \end{matrix}$
(11): 用 $(1 + x)^{α}$ 的带Lagrange余项的Taylor公式估算 $\sqrt{10}$ 的值。
(12): 证明： $e^{x} = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}$ 。
(13): 用Taylor公式修正圆周率近似值： $\begin{matrix} (24) & π_{2 n} = \frac{π_{n}}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{π_{n}^{2}}{n^{2}}}}} = n \sin \frac{π}{n} = π - \frac{π^{3}}{6 n^{2}} + \frac{π^{5}}{120 n^{4}} + O (\frac{1}{n^{6}}) \end{matrix}$ 利用 $π_{n}, π_{2 n}$ 的线性组合消去 $\frac{1}{n^{2}}$ 项可得 $\begin{matrix} (25) & {\hat{π}}_{2 n} := π_{2 n} + \frac{1}{3} (π_{2 n} - π_{n}) = π - \frac{π^{5}}{480 n^{4}} + O (\frac{1}{n^{6}}) \end{matrix}$ 这定义了一个外推修正。同理可以定义如下更进一步的外推修正： $\begin{matrix} (26) & π_{2 n}^{*} = {\hat{π}}_{2 n} + \frac{1}{15} ({\hat{π}}_{2 n} - {\hat{π}}_{n}) \end{matrix}$

注 Taylor展开定理给出了在一点附近逼近 $n$ 阶可微函数的多项式的存在性和唯一性（在限定次数的情况下）；但是一个函数在一点附近可用多项式逼近，并不能保证这个函数有高阶可微性，例如 $f (x) = x^{100} \cdot 1_{x \in Q} = o (x^{99}), x \to 0$ ，但 $f$ 在 $x = 0$ 处不是二阶可微的。