知识点复习

11.1 知识点复习

Riemann定积分的研究对象是有界闭区间上的有界函数，当这两个“有界”中任意一个不满足时，可以利用Riemann定积分的极限来研究函数的广义积分，包括无穷限积分和瑕积分。本节讨论的函数都假设是内闭Riemann可积的，即在任何有界闭区间或不包含瑕点的有界闭区间内均Riemann可积。

11.1.1 广义积分的概念

重要概念回顾

(1)

无穷限积分：设函数 $f : [a, + \infty) \to R$ 满足：

内闭Riemann可积： $\forall A > a$ ， $f$ 在区间 $[a, A]$ 上Riemann可积；
极限存在： $lim_{A \to + \infty} \int_{a}^{A} f (x) d x$ 收敛。

则称 $\begin{matrix} (1) & \int_{a}^{+ \infty} f (x) d x := lim_{A \to + \infty} \int_{a}^{A} f (x) d x \end{matrix}$ 为 $f$ 在区间 $[a, + \infty)$ 上的广义积分，称广义积分 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛或 $f$ 在区间 $[a, + \infty)$ 上广义可积。类似可定义广义积分 $\int_{- \infty}^{a} f (x) d x$ 。 $f$ 在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上广义可积的充要条件是 $\int_{- \infty}^{a} f (x) d x$ 和 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 均收敛，并且它们的和为 $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x$ 。

(2)

瑕积分：设函数 $f : [a, b] \to R$ 满足：

无界： $f$ 在区间 $[a, b]$ 上无界；
内闭Riemann可积： $\forall c \in (a, b)$ ， $f$ 在区间 $[a, c]$ 上Riemann可积；
极限存在： $lim_{c \to b^{-}} \int_{a}^{c} f (x) d x$ 收敛。

则称 $\begin{matrix} (2) & \int_{a}^{b} f (x) d x := lim_{c \to b^{-}} \int_{a}^{c} f (x) d x \end{matrix}$ 为 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的广义积分，称广义积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 收敛或 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上广义可积， $b$ 为 $f$ 的瑕点。

(3)

含有多个瑕点的瑕积分：设函数 $f : I \to R$ 满足：

$f$ 在区间 $I$ 上只有有限多个瑕点；
把区间 $I$ 分解成有限多个不相交的区间 $I_{k}$ 的并，每个 $I_{k}$ 为有界区间或单侧有界区间， $f$ 在每个有界区间 $I_{k}$ 中至多只有一个瑕点，且该瑕点为区间 $I_{k}$ 的端点。
每个广义积分 $\int_{I_{k}} f (x) d x$ 都收敛。

则称 $\begin{matrix} (3) & \int_{a}^{b} f (x) d x := \sum_{k} \int_{I_{k}} f (x) d x \end{matrix}$ 为 $f$ 在区间 $I$ 上的广义积分，称广义积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 收敛或 $f$ 在区间 $I$ 上广义可积。

(4)

发散：若广义积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 不收敛，则称广义积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 发散。

应用

(1): $\int_{0}^{+ \infty} e^{- λ x} d x$ 的收敛性。
(2): $\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{p}} d x$ 、 $\int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x (\ln x)^{p}}$ 、 $\int_{3}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln x (\ln \ln x)^{p}}$ 的收敛性。
(3): $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}}$ 的收敛性。

11.1.2 广义积分的收敛性

若未特殊说明，下文中各被积函数在其定义域内均满足内闭Riemann可积，且将 $[a, + \infty)$ 上的无穷限积分和 $[a, b]$ 上的瑕积分（ $b$ 为唯一瑕点的）合记为广义积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ，其中 $b \in R \cup {+ \infty}$ 。

重要概念回顾

(1): 绝对收敛：若广义积分 $\int_{a}^{b} | f (x) | d x$ 收敛，则称广义积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 绝对收敛。
(2): 条件收敛：若广义积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 收敛但 $\int_{a}^{b} | f (x) | d x$ 发散，则称广义积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 条件收敛。

重要定理回顾

(1)

Cauchy收敛准则：无穷限积分 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛当且仅当： $\forall ε > 0$ ， $\exists N_{ε} > a$ 使得 $\begin{matrix} (4) & A_{2} > A_{1} > N_{ε} ⟹ | \int_{A_{1}}^{A_{2}} f (x) d x | < ε \end{matrix}$ 瑕积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ （ $b$ 为唯一瑕点）收敛当且仅当： $\forall ε > 0$ ， $\exists δ \in (0, b - a)$ 使得 $\begin{matrix} (5) & 0 < δ_{2} < δ_{1} < b - a ⟹ | \int_{b - δ_{1}}^{b - δ_{2}} f (x) d x | < ε \end{matrix}$

(2)

若广义积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 绝对收敛，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 收敛。

(3)

比较判别法（普通形式）：设 $f, g$ 非负，且 $\exists M > 0$ 使得 $\forall x \in I$ 都有 $f (x) \leq M g (x)$ ，则

$\int_{a}^{b} g (x) d x$ 收敛 $⟹ \int_{a}^{b} f (x) d x$ 收敛；
$\int_{a}^{b} f (x) d x$ 发散 $⟹ \int_{a}^{b} g (x) d x$ 发散。

(4)

比较判别法（极限形式）：设 $f, g$ 非负，且满足 $lim_{x \to b^{-}} \frac{f (x)}{g (x)} = C$ ，则

若 $C \in (0, + \infty)$ ，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 与 $\int_{a}^{b} g (x) d x$ 同敛散；
若 $C = 0$ ，则 $\int_{a}^{b} g (x) d x$ 收敛 $⟹ \int_{a}^{b} f (x) d x$ 收敛；
若 $C = + \infty$ ，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 发散 $⟹ \int_{a}^{b} g (x) d x$ 发散。

(5)

乘积函数判别法：设 $g$ 在 $[a, b]$ 上单调， $F (x) := \int_{a}^{x} f (x) d x$ ，则当下述两组条件之一成立时， $\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x$ 收敛：

Dirichlet： $F (x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，且 $lim_{x \to b^{-}} g (x) = 0$ ；
Abel： $lim_{x \to b^{-}} F (x)$ 收敛，且 $g (x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。

应用

(1): $\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{x d x}{1 + x^{2}}$ 不收敛。
(2): Gamma函数、Beta函数。
(3): $\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin x}{x^{α}}$ 的收敛性。

注

(1): $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛当且仅当 $\exists I \in R$ 使得 $\forall ε > 0$ ， $\exists N_{ε} > 0$ 使得 $\begin{matrix} (6) & A < - N_{ε} < N_{ε} < B ⟹ | \int_{A}^{B} f (x) d x - I | < ε \end{matrix}$ 要确保 $A, B$ 各自的任意性。
(2): 比较判别法只能用于判断广义积分的绝对收敛性，不能用于判断广义积分的条件收敛性。
(3): 比较判别法的常用“标准尺”： $\begin{matrix} (7) & \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} d x = {\begin{cases} 收敛 & p < 1 \\ 发散 & p \geq 1 \end{cases}, \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{p}} d x = {\begin{cases} 收敛 & p > 1 \\ 发散 & p \leq 1 \end{cases} \end{matrix}$

11.1.3 广义积分的计算

重要定理回顾

(1): 广义Newton-Leibniz公式：设 $F^{'} (x) = f (x)$ ，且 $lim_{x \to b^{-}} F (x)$ 存在，则 $\begin{matrix} (8) & \int_{a}^{b} f (x) d x = F (x) |_{a}^{b} = lim_{x \to b^{-}} F (x) - F (a) \end{matrix}$
(2): 换元法：设 $f \in C [a, b]$ ， $x = φ (t) \in C^{1} (α, β)$ ，且 $lim_{t \to α^{+}} φ (t) = a$ 、 $lim_{t \to β^{-}} φ (t) = b$ ，其中 $a, b, α, β \in R \cup {\pm \infty}$ ，则 $\begin{matrix} (9) & \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f [φ (t)] φ^{'} (t) d t \end{matrix}$ 上式中有一个广义积分收敛，则另一个积分也收敛，且等式成立。
(3): 分部积分：设 $u, v \in C^{1} [a, b]$ ，其中 $a, b \in R \cup {\pm \infty}$ 。若 $lim_{x \to a^{+}} u (x) v (x)$ 和 $lim_{x \to b^{-}} u (x) v (x)$ 均存在，则 $\begin{matrix} (10) & \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v (x) u^{'} (x) d x \end{matrix}$ 上式中有一个广义积分收敛，则另一个积分也收敛，且等式成立。