7.2 知识点复习

7.2.1 函数的凹凸性

重要概念回顾

(1)

凸集、凸函数（下凸函数）、严格凸函数（严格下凸函数）；凹函数（上凸函数）、严格凹函数（严格上凸函数）。

(2)

拐点：称$(x_0,f(x_0))$是$y=f(x)$的一个拐点，若$f$在$x_0$处连续，且$f$在$x_0$两侧有相反的凹凸性。

重要定理回顾

(1)

$f$在区间$I$上是凸函数，当且仅当$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2,x_3\in I$，$$\begin{array}{}\text{(1)}& x_1<x_2<x_3⟹\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\end{array}$$

(2)

$f$在区间$I$上是严格凸函数，当且仅当$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2,x_3\in I$，$$\begin{array}{}\text{(2)}& x_1<x_2<x_3⟹\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\end{array}$$

(3)

设$f$在开区间$I$上为凸函数，则$\mathrm{\forall }x\in I$，$f_{+}^{\prime }(x),f_{-}^{\prime }(x)$都存在，从而$f$连续，且$f_{+}^{\prime },f_{-}^{\prime }$单调不减。

(4)

若$f$在区间$I$上可微，且$f^{\prime }$单调不减（严格增），则$f$在区间$I$上是凸函数（严格凸函数）。

(5)

设$f$在区间$I$上二阶可微，则

• $f$在区间$I$上是凸函数当且仅当$f^{″}(x)\ge 0$。
• 若$f^{″}>0$，则$f$在区间$I$上是严格凸函数。

(6)

设$f$在区间$I$上是凸函数，则$\mathrm{\forall }{x}_1,\cdots ,x_n\in I$，$\mathrm{\forall }{t}_1,\cdots ,t_n\ge 0$，$$\begin{array}{}\text{(3)}& t_1+\cdots +t_n=1⟹f(t_1{x}_1+\cdots +t_n{x}_n)\le t_{1}f(x_1)+\cdots +t_{n}f(x_n)\end{array}$$ 若$f$严格凸，则上述不等式中的等号成立当且仅当$\mathrm{\exists }{x}_0\in I$使得$\{x_k\mid t_k>0,1\le k\le n\}=\{x_0\}$。

(7)

设$f$在区间$I$上是可微的凸函数，$x_0\in I$满足$f^{\prime }(x_0)=0$，则$x_0$是$f$在$I$上的最小值点。

(8)

若$f$在区间$I$上可微且严格凸，则$f$在$I$上要么严格单调，要么有唯一的临界点，这个临界点是$f$在$I$上的最小值点。

(9)

若$f$是有界闭区间$[a,b]$上的凸函数，则$$\begin{array}{}\text{(4)}& f(x)\le max\{f(a),f(b)\},\mathrm{\forall }x\in [a,b]\end{array}$$ 如果$f$严格凸，则$f$在$[a,b]$上的最大值仅当在端点处取得。

应用

(1)

幂函数、指数函数、对数函数的凹凸性。

(2)

Young不等式：设$p_1,\cdots ,p_n>0$满足$\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\cdots +\frac{1}{p_n}=1$，则$\mathrm{\forall }{x}_1,\cdots ,x_n>0$，有$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{x_1^{p_1}}{p_1}+\frac{x_2^{p_2}}{p_2}+\cdots +\frac{x_n^{p_n}}{p_n}\ge x_1{x}_2\cdots x_n\end{array}$$ 其中等号成立当且仅当$x_1^{p_1}=x_2^{p_2}=\cdots =x_n^{p_n}$。

注 数学中凹凸性的定义与函数图像是否“凹凸”不同，拐点的含义与日常生活中常说的“拐点”意义不同。