6.2 知识点复习

6.2.1 微分中值定理

重要概念回顾

(1)

极大值点、极大值、极小值点、极小值、极值点、极值。

(2)

临界点（驻点）：若$f^{\prime }(x_0)=0$，则称$x_0$为$f$的一个临界点。

重要定理回顾

(1)

Fermat引理：若$f$在极值点$x_0$处可微，则$x_0$是$f$的临界点。

(2)

Rolle定理：设$f$在$(a,b)$内可微（$-\mathrm{\infty }\le a<b\le +\mathrm{\infty }$），并且$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=A\in \mathbb{R}\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}\end{array}$$ 则$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$使得$f^{\prime }(\xi )=0$。

(3)

Cauchy中值定理：设$-\mathrm{\infty }\le a<b\le +\mathrm{\infty }$，函数$x(t),y(t)$在区间$(a,b)$内可微，满足极限$x(a^{+}),x(b^{-}),y(a^{+}),y(b^{-})$都收敛，则$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$使得$$\begin{array}{}\text{(2)}& x^{\prime }(\xi )[y(b^{-})-y(a^{+})]-y^{\prime }(\xi )[x(b^{-})-x(a^{+})]=0\end{array}$$

(4)

Lagrange中值定理：设函数$f$在有界闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可微，则$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$使得$$\begin{array}{}\text{(3)}& f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)\end{array}$$

(5)

在区间$I$上，$f$为常数当且仅当$f^{\prime }\equiv 0$。

应用

(1)

设$A>\frac{\pi }{2}$，$f(x):=\{\begin{array}{ll}x+A{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，则$f^{\prime }(0)=1$，但$f$在$x=0$的任何邻域内均不单调。

(2)

导数有界的函数都是Lipschitz函数，从而是一致连续的。

(3)

微分方程$y^{\prime }=\alpha y$的所有解是$y=C{\mathrm{e}}^{\alpha x}$，其中$C$为任意常数。

(4)

微分方程$y^{″}-3y^{\prime }+2y=0$的所有解是$y=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2{\mathrm{e}}^{2x}$，其中$C_1,C_2$为任意常数。

(5)

证明：对区间$[\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1]$中的任何有理数$\frac{p}{q}$，都有$$\begin{array}{}\text{(4)}& |\frac{p}{q}-\sqrt{2}|\ge \frac{1}{2(\sqrt{2}+1)q^2}\end{array}$$

注

(1)

在Rolle定理中，若$a,b\in \mathbb{R}$，则定理结论可写成：$\mathrm{\exists }\theta \in (0,1)$使得$f^{\prime }(\theta a+(1-\theta )b)=0$。

(2)

在Cauchy中值定理中，若$x(b^{-})\ne x(a^{+})$，则定理结论可写成$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{y(b^{-})-y(a^{+})}{x(b^{-})-x(a^{+})}=\frac{y^{\prime }(\xi )}{x^{\prime }(\xi )}\end{array}$$

(3)

在以上中值定理中，若$a,b\in \mathbb{R}$，则“函数在区间端点的（单侧）极限存在”可用“函数在区间端点处（单侧）连续”代替。

(4)

Cauchy中值定理的几何解释：平面曲线$\mathrm{\Gamma }:(x(t),y(t))$在某点$P(x(\xi ),y(\xi ))$处的切向量$(x^{\prime }(\xi ),y^{\prime }(\xi ))$与点$A(x(a^{+}),y(a^{+}))$到点$B(x(b^{-}),y(b^{-}))$的连线的$l_{AB}$平行。

(5)

Cauchy中值定理对二维以上空间中的曲线不成立。

6.2.2 函数的单调性与极值

重要定理回顾

(1)

Darboux定理：区间上的导函数具有介值性质。设函数$f$在区间$[a,b]$上连续、在$(a,b)$内可导，且$f_{+}^{\prime }(a)<f_{-}^{\prime }(b)$，则$\mathrm{\forall }c\in (f_{+}^{\prime }(a),f_{-}^{\prime }(b))$，$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$使得$f^{\prime }(\xi )=c$。由此可知$f$的导函数$f^{\prime }$的间断点只可能是第二类间断点。

(2)

函数的单调性：设$f$在区间$I$上可微。

• 若$\mathrm{\forall }x\in I$，$f^{\prime }(x)>0$（$<0$），则$f$在$I$上是增函数（减函数）。
• $f$在区间$I$上单调不减（不增）当且仅当$f^{\prime }(x)\ge 0$（$\le 0$）。
• 若$\mathrm{\forall }x\in I$，$f^{\prime }(x)\ne 0$，则$f$在$I$上严格单调。

(3)

函数的极值：设$n\ge 1$，$\mathrm{\exists }\delta >0$使得$f$在$(x_0-\delta ,x_0+\delta )$上连续。

• 若$\mathrm{\forall }x\in (x_0-\delta ,x_0)$，$f^{\prime }(x)\le 0$；$\mathrm{\forall }x\in (x_0,x_0+\delta )$，$f^{\prime }(x)\ge 0$，则$x_0$是$f$在区间$(x_0-\delta ,x_0+\delta )$上的最小值点。
• 若$\mathrm{\forall }x\in (x_0-\delta ,x_0)$，$f^{\prime }(x)\ge 0$；$\mathrm{\forall }x\in (x_0,x_0+\delta )$，$f^{\prime }(x)\le 0$，则$x_0$是$f$在区间$(x_0-\delta ,x_0+\delta )$上的最大值点。
• 若$f^{\prime }(x_0)=0$且$f^{″}(x_0)>0$，则$x_0$是$f$的极小值点。
• 若$f^{\prime }(x_0)=0$且$f^{″}(x_0)<0$，则$x_0$是$f$的极大值点。
• 若$f^{\prime }(x_0)=f^{″}(x_0)=\cdots =f^{(2n-1)}(x_0)=0$，$f^{(2n)}(x_0)>0$（$<0$），则$x_0$是$f$的极小值点（极大值点）。
• 若$f^{\prime }(x_0)=f^{″}(x_0)=\cdots =f^{(2n)}(x_0)=0$，$f^{(2n+1)}(x_0)>0$（$<0$），则$f$在$x_0$的一个邻域内单调增（减）。

应用

(1)

海滩上的救生员看到海中有人溺水，救生员在沙滩上的奔跑速度为，$v_1$，在水中的游泳速度为$v_2$，求救生员的最佳救援路线。

(2)

$f(x)={(1+\frac{1}{x})}^x$在$(0,+\mathrm{\infty })$上是增函数。

(3)

Newton法的局部收敛性与二阶收敛性：设$f:[a,b]\to \mathbb{R}$是${\mathcal{C}}^1$函数，$f(x^{\ast })=0$，$f^{\prime }(x^{\ast })\ne 0$，则

• 在$x^{\ast }$的一个小邻域中，Newton迭代$$\begin{array}{}\text{(6)}& x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}\end{array}$$ 得到的数列$\{x_n{\}}_{n\ge 0}$收敛到$x^{\ast }$。
• 若$f\in {\mathcal{C}}^2$，则$\mathrm{\exists }C>0$使得数列$\{x_n{\}}_{n\ge 0}$满足$$\begin{array}{}\text{(7)}& |x_{n+1}-x^{\ast }|\le C|x_n-x^{\ast }{|}^2,C=\frac{\underset{x\in [a,b]}{max}|f^{″}(x)|}{\underset{x\in [a,b]}{min}|f^{\prime }(x)|}\end{array}$$

由此可以看出，当$y=f(x)$近似直线（二阶导数$f^{″}$绝对值小）且斜率较大（一阶导数$f^{\prime }$绝对值大）时，Newton法有很好的收敛性。

(4)

Newton法的全局收敛性：设$f:[a,b]\to \mathbb{R}$是${\mathcal{C}}^1$凸的增函数，$f(a)<0<f(b)$，则$\mathrm{\forall }{x}_0\in (a,b)$，只要$x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}<b$，由Newton迭代$$\begin{array}{}\text{(8)}& x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}\end{array}$$ 得到的数列$\{x_n{\}}_{n\ge 0}$就收敛于$f$的（唯一）零点$x^{\ast }$。

注 虽然在一点处的一阶导数无法提供局部的单调性结论，但在一点处的高阶导数是可以的。

6.2.3 L’Hôpital法则

重要定理回顾

(1)

L’Hôpital法则：设在$a\in \mathbb{R}\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$的一个（单侧）去心邻域内，$f,g$可微，$g^{\prime }\ne 0$，且

• $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}g(x)=0$，或$\underset{x\to a}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$。
• $\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A\in \mathbb{R}\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$。

则$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$存在，且为$A$。

应用 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(\frac{\pi }{2}-\arctan x)}^{\frac{1}{\ln x}}={\mathrm{e}}^{-1}$。

注

(1)

广义L’Hôpital法则：不必要求$\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$存在，定理结论为下面的不等式：$$\begin{array}{}\text{(9)}& \underset{x\to a}{lim inf}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\le \underset{x\to a}{lim inf}\frac{f(x)}{g(x)}\le \underset{x\to a}{lim sup}\frac{f(x)}{g(x)}\le \underset{x\to a}{lim sup}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\end{array}$$

(2)

洛必达法则“失效”的情况有哪些？¹

• 压根不是未定型：$$\begin{array}{}\text{(10)}& \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\frac{1+\sin x}{1-\cos x}=\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\frac{(1+\sin x{)}^{\prime }}{(1-\cos x{)}^{\prime }}=\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\frac{\cos x}{\sin x}=0\end{array}$$
• 求导后的极限不存在：$$\begin{array}{}\text{(11)}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+\cos x}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-\sin x}{1}=\mathrm{Indeterminate}\end{array}$$
• 诈尸型（求导一次后不是未定型）：$$\begin{array}{}\text{(12)}& \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^x-\cos x}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^x+\sin x}{2x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^x+\cos x}{2}=\frac{1+1}{2}=1\end{array}$$
• 循环型：$$\begin{array}{}\text{(13)}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^{\prime }}{{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{\prime }}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\cdots \end{array}$$
• 吸收型：$$\begin{array}{}\text{(14)}& \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-1/x^2}}{x^2}=2\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-1/x^2}}{x^5}=4\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-1/x^2}}{x^8}=\cdots \end{array}$$
• 极端复杂型：$$\begin{array}{}\text{(15)}& \underset{x\to 0}{lim}\frac{7x^3+6{\mathrm{e}}^{-x^2}\sin x-6x}{3\ln \frac{1+x}{1-x}-6x-2x^3}=\cdots \text{（本题要求6次导）}\end{array}$$
• 变限积分（本质上还是求导后的极限不存在）：$$\begin{array}{}\text{(16)}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}{\int }_0^x|\sin t|\mathrm{d}t=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}|\sin x|=\mathrm{Indeterminate}\end{array}$$
• 抽象函数。

6.2.4 Taylor公式

重要概念回顾 Taylor多项式：设$f$在$x_0$处$n$阶可微，称多项式$$\begin{array}{}\text{(17)}& \mathrm{T}{f}_{n,x_0}(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n\end{array}$$ 为$f$在$x_0$处的$n$阶Taylor多项式。

重要定理回顾

(1)

Taylor多项式的性质：若$f,g$在$x_0$处$n$阶可微，则

• 线性：对$\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$，则$\mathrm{T}(\lambda f+\mu g{)}_{n,x_0}=\lambda \mathrm{T}{f}_{n,x_0}+\mu \mathrm{T}{g}_{n,x_0}$。
• 线性换元：对$h(t)=f(\lambda t+\mu )$及$t_0=\frac{x_0-\mu }{\lambda }$，成立$\mathrm{T}{h}_{n,t_0}(t)=\mathrm{T}{f}_{n,x_0}(\lambda t+\mu )$。
• 导数：$[\mathrm{T}{f}_{n,x_0}(x){]}^{\prime }=\mathrm{T}(f^{\prime }{)}_{n-1,x_0}(x)$。

(2)

Peano余项的Taylor公式、Taylor多项式的唯一性：设$f$在$x_0$处$n$阶可微，则多项式$$\begin{array}{}\text{(18)}& P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\frac{a_2}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{a_n}{n!}(x-x_0{)}^n\end{array}$$ 满足$f(x)=P_n(x)+o((x-x_0{)}^n),x\to x_0$当且仅当$P_n(x)=\mathrm{T}{f}_{n,x_0}(x)$，即$a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$。

(3)

设$f$在$x_0$处$n$阶可微，$P_n(x)$是不超过$n$次的多项式，则$$\begin{array}{}\text{(19)}& f(x)=P_n(x)+o((x-x_0{)}^n),x\to x_0\end{array}$$ 当且仅当$P_n(x_0)=f(x_0)$且$$\begin{array}{}\text{(20)}& f^{\prime }(x)=P_n^{\prime }(x)+o((x-x_0{)}^{n-1}),x\to x_0\end{array}$$

(4)

Lagrange余项的Taylor公式：设$f$在区间$I$上$n$阶可微，$x_0\in I$，则$\mathrm{\forall }x\in I$，存在介于$x_0$与$x$之间的${\xi }_x$使得$$\begin{array}{}\text{(21)}& f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0{)}^{n-1}+\frac{f^{(n)}({\xi }_x)}{n!}(x-x_0{)}^n\end{array}$$

(5)

设$f$在一个含$x_0$在内的区间内有连续的$n+1$阶导函数，则当$x\to x_0$时，有$$\begin{array}{}\text{(22)}& f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+\mathcal{O}((x-x_0{)}^{n+1})\end{array}$$

应用

(1)

设$f$是偶函数，在$x=0$处$2n$阶可微，则$\mathrm{T}{f}_{2n,0}(x)$是偶函数。

(2)

${\mathrm{e}}^x=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+o(x^n)$，$a^x=\sum _{k=0}^n\frac{(\ln a{)}^k}{k!}{x}^k+o(x^n)$，$x\to 0$。

(3)

$\sin x=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}{x}^{2k+1}+o(x^{2n+1})$，$\cos x=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{x}^{2k}+o(x^{2n})$，$x\to 0$。

(4)

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^k+o(x^n)$，$x\to 0$，其中$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}$。

(5)

$\ln (1+x)=\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}{x}^k+o(x^n)$，$x\to 0$。

(6)

$\arctan x=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{2k+1}{x}^{2k+1}+o(x^{2n+1})$，$x\to 0$。

(7)

$\ln (1+\sin x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}-\frac{x^4}{12}+o(x^4)$。

(8)

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+\sin x)-\sin \ln (1+x)}{{\mathrm{e}}^{\arcsin x}-1-\arcsin ({\mathrm{e}}^x-1)}=1$。

(9)

$y=f(x)$在$P(x_0,f(x_0))$处的密切圆半径$R=\frac{(1+f^{\prime }(x_0{)}^2{)}^{3/2}}{|f^{″}(x_0)|}$，曲率$\kappa =\frac{1}{R}=\frac{|f^{″}(x_0)|}{(1+f^{\prime }(x_0{)}^2{)}^{3/2}}$。

(10)

已知$x_{n+1}=\sin x_n$，$x_n$的渐近表达式为$$\begin{array}{}\text{(23)}& x_n=\sqrt{\frac{3}{n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right),n\to +\mathrm{\infty }\end{array}$$

(11)

用$(1+x{)}^{\alpha }$的带Lagrange余项的Taylor公式估算$\sqrt{10}$的值。

(12)

证明：${\mathrm{e}}^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$。

(13)

用Taylor公式修正圆周率近似值：$$\begin{array}{}\text{(24)}& {\pi }_{2n}=\frac{{\pi }_n}{\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{{\pi }_n^2}{n^2}}}}=n\sin \frac{\pi }{n}=\pi -\frac{{\pi }^3}{6n^2}+\frac{{\pi }^5}{120n^4}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^6}\right)\end{array}$$ 利用${\pi }_n,{\pi }_{2n}$的线性组合消去$\frac{1}{n^2}$项可得$$\begin{array}{}\text{(25)}& {\hat{\pi }}_{2n}:={\pi }_{2n}+\frac{1}{3}({\pi }_{2n}-{\pi }_n)=\pi -\frac{{\pi }^5}{480n^4}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^6}\right)\end{array}$$ 这定义了一个外推修正。同理可以定义如下更进一步的外推修正：$$\begin{array}{}\text{(26)}& {\pi }_{2n}^{\ast }={\hat{\pi }}_{2n}+\frac{1}{15}({\hat{\pi }}_{2n}-{\hat{\pi }}_n)\end{array}$$

注 Taylor展开定理给出了在一点附近逼近$n$阶可微函数的多项式的存在性和唯一性（在限定次数的情况下）；但是一个函数在一点附近可用多项式逼近，并不能保证这个函数有高阶可微性，例如$f(x)=x^{100}\cdot 1_{x\in \mathbb{Q}}=o(x^{99}),x\to 0$，但$f$在$x=0$处不是二阶可微的。