知识点复习

12.2 知识点复习

12.2.1 微分方程的基本概念

一般地， $n$ 阶（常）微分方程可以表示为 $\begin{matrix} (1) & F (x, y, y^{'}, \dots, y^{(n)}) = 0 \end{matrix}$ 其中 $x$ 是自变量、 $y$ 是未知函数。设 $y$ 在区间 $I$ 上连续且有直到 $n$ 阶的导数，若 $y$ 满足以上方程，则称 $y$ 是方程在区间 $I$ 上的一个解， $I$ 称作该解的存在区间。如果关系式 $f (x, y) = 0$ 确定的隐函数 $y (x)$ 是方程的解，则称 $f (x, y) = 0$ 为方程的隐式解，也可略称作解¹。

若方程的解 $y$ 包含 $n$ 个独立的任意常数，则称其为的通解；若方程的解 $y$ 不包含任意常数，则称其为特解。需要十分注意的是，通解并不一定包含所有的特解。

12.2.2 线性微分方程解的结构

称 $F$ 为线性微分方程，若其满足 $\begin{matrix} (2) & F (x, y_{1} + y_{2}, y_{1}^{'} + y_{2}^{'}, \dots, y_{1}^{(n)} + y_{2}^{(n)}) = F (x, y_{1}, y_{1}^{'}, \dots, y_{1}^{(n)}) + F (x, y_{2}, y_{2}^{'}, \dots, y_{2}^{(n)}) \end{matrix}$ 此时 $F$ 可表示为 $\begin{matrix} (3) & y^{(n)} + a_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = f (x) \end{matrix}$ 定义线性微分算子 $\begin{matrix} (4) & L = \frac{d^{n}}{d x^{n}} + a_{n - 1} (x) \frac{d^{n - 1}}{d x^{n - 1}} + \dots + a_{1} (x) \frac{d}{d x} + a_{0} (x) \end{matrix}$ 则原方程可表示为 $\begin{matrix} (5) & L y = f \end{matrix}$

称 $F$ 为齐次线性方程，若 $f = 0$ ；否则称 $F$ 为非齐次线性方程。容易验证以下事实（即线性叠加原理）：

(1): 若 $y_{1}, y_{2}$ 是齐次线性方程的解，则 $y_{1} + y_{2}$ 也是齐次线性方程的解。
(2): 若 $y_{1}$ 是齐次线性方程的解，则 $c y_{1}$ 也是齐次线性方程的解。
(3): 若 $y_{1}$ 是非齐次线性方程的解， $y_{2}$ 是对应的齐次线性方程的解，则 $y_{1} + y_{2}$ 也是非齐次线性方程的解。
(4): 若 $y_{1}, y_{2}$ 是非齐次线性方程的解，则 $y_{1} - y_{2}$ 是对应的齐次线性方程的解。

因此

(1): 齐次线性方程的解构成一个线性空间 $V$ ，它的维数为 $n$ 。
(2): 非齐次线性方程的解构成一个仿射空间 $V + y_{0}$ ，其中 $y_{0}$ 是非齐次线性方程的一个特解，它的维数为 $n$ 。
(3): 可以将非齐次项分解为 $f = c_{1} f_{1} + c_{2} f_{2} + \dots + c_{k} f_{k}$ ，则 $L y = f$ 的通解可以表示为 $L y = f_{k}$ 的通解的线性组合。

12.2.3 分离变量法

求解一阶微分方程的核心思路是分离变量法，即形如 $\begin{matrix} (6) & \frac{d y}{d x} = f (x) g (y) \end{matrix}$ 的方程，其通解为 $\begin{matrix} (7) & \int \frac{d y}{g (y)} = \int f (x) d x + C \end{matrix}$

除了最基本的形式以外，常见的可分离变量的微分方程有：

(1)

齐次方程： $\begin{matrix} (8) & \frac{d y}{d x} = f (\frac{y}{x}) \overset{u = \frac{y}{x}}{\to} \frac{d u}{d x} = \frac{f (u) - u}{x} \end{matrix}$

(2)

仅含 $a x + b y + c$ 的方程： $\begin{matrix} (9) & \frac{d y}{d x} = f (a x + b y + c) \overset{u = a x + b y + c}{\to} \frac{d u}{d x} = a + b f (u) \end{matrix}$

(3)

仅含 $\frac{a x + b y + e}{c x + d y + f}$ （其中 $c^{2} + d^{2} \neq 0$ ）的方程： $\begin{matrix} (10) & \frac{d y}{d x} = F (\frac{a x + b y + e}{d x + e y + f}) \end{matrix}$

若 $a d - b c \neq 0$ ，则方程组 ${\begin{cases} a x + b y + e = 0 \\ c x + d y + f = 0 \end{cases}$ 有唯一解 $(x_{0}, y_{0})$ ，令 $u = x - x_{0}, v = y - y_{0}$ ，则方程化为 $\begin{matrix} (11) & \frac{d v}{d u} = F (\frac{a u + b v}{c u + d v}) = F (\frac{a + b \frac{v}{u}}{c + d \frac{v}{u}}) = g (\frac{v}{u}) \end{matrix}$
若 $a d - b c = 0$ ，则必存在 $k \in R$ 使得 $a x + b y = k (c x + d y)$ ，则方程化为 $\begin{matrix} (12) & \frac{d y}{d x} = F (\frac{a x + b y + e}{c x + d y + f}) = F (\frac{k (c x + d y) + e}{c x + d y + f}) = g (c x + d y) \end{matrix}$

12.2.4 恰当方程与平面向量场的正交曲线族

一阶微分式形式的微分方程（又称为恰当方程）具有形式 $\begin{matrix} (13) & P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 \end{matrix}$ 其中 $x, y$ 的地位是对等的，不再强调谁是自变量、谁是因变量。 $(x, y)$ 坐标平面中的曲线 $γ : t \mapsto (x (t), y (t))$ 是它的积分曲线，当且仅当 $\begin{matrix} (14) & P (x (t), y (t)) x^{'} (t) + Q (x (t), y (t)) y^{'} (t) = 0 \end{matrix}$

在直角坐标系中， $(P, Q)$ 是点 $(x, y)$ 处的一个向量，这给出了平面上的一个向量场。 $γ$ 是恰当方程的积分曲线，当且仅当它在其所经之处（的切向量）总是与向量场 $(P, Q)$ 正交。所以恰当方程的通解就是向量场 $(P, Q)$ 的正交曲线族。

12.2.5 一阶线性微分方程

对于一阶齐次线性方程 $\begin{matrix} (15) & y^{'} + a (x) y = 0 \end{matrix}$ 其可以分离变量。设 $A$ 是 $a$ 的一个原函数，则其通解为 $\begin{matrix} (16) & y = C e^{- A (x)} = y (x_{0}) \exp [- \int_{x_{0}}^{x} a (t) d t] \end{matrix}$ 也可以直接配凑积分因子，即 $\begin{matrix} (17) & {[e^{A (x)} y]}^{'} = e^{A (x)} [y^{'} + a (x) y] = 0 ⟹ y = C e^{- A (x)} \end{matrix}$

对于一阶非齐次线性方程 $\begin{matrix} (18) & y^{'} + a (x) y = f (x) \end{matrix}$ 可以采用常数变易法（不是常数变异法）。已知齐次方程的通解为 $y = C e^{- A (x)}$ ，则原方程的通解可设为 $\begin{matrix} (19) & y = C (x) e^{- A (x)} ⟹ C^{'} (x) e^{- A (x)} = f (x) ⟹ C^{'} (x) = f (x) e^{A (x)} \end{matrix}$ 因此 $\begin{matrix} (20) & y = e^{- A (x)} [\int_{x_{0}}^{x} f (t) e^{A (t)} d t + C] = \underset{齐次方程通解}{\underset{⏟}{C e^{- A (x)}}} + \underset{非齐次方程特解}{\underset{⏟}{e^{- A (x)} \int_{x_{0}}^{x} f (t) e^{A (t)} d t}} \end{matrix}$ 也可以采用积分因子法，即 $\begin{matrix} (21) & {[e^{A (x)} y]}^{'} = e^{A (x)} [y^{'} + a (x) y] = e^{A (x)} f (x) ⟹ y = e^{- A (x)} [\int_{x_{0}}^{x} f (t) e^{A (t)} d t + C] \end{matrix}$

若 $a, f$ 均连续，则对任意 $(x_{0}, y_{0})$ ，一阶线性微分方程 $y^{'} + a (x) y = f (x)$ 有唯一解满足初始条件 $y (x_{0}) = y_{0}$ 。

12.2.6 可线性化的一阶非线性微分方程

形如 $\begin{matrix} (22) & y^{'} + a (x) y = b (x) y^{ν} \end{matrix}$ 的方程称为Bernoulli方程，其中 $ν \neq 0, 1$ 。令 $z = y^{1 - ν}$ ，则 $\begin{matrix} (23) & z^{'} = (1 - ν) y^{- ν} y^{'} = (1 - ν) y^{- ν} (b (x) y^{ν} - a (x) y) = (1 - ν) [b (x) - a (x) z] \end{matrix}$

形如 $\begin{matrix} (24) & y^{'} (x) = q_{0} (x) + q_{1} (x) y + q_{2} (x) y^{2} \end{matrix}$ 的方程称为Riccati方程，其中 $q_{2} (x) \neq 0$ 。令 $v = y q_{2}$ ，则 $\begin{matrix} (25) & v^{'} = y^{'} q_{2} + y q_{2}^{'} = q_{0} q_{2} + (q_{1} + \frac{q_{2}^{'}}{q_{2}}) v + v^{2} =: S (x) + R (x) v + v^{2} \end{matrix}$ 再令 $v = - \frac{u^{'}}{u}$ ，则 $\begin{matrix} (26) & v^{'} = - \frac{u^{″}}{u} + \frac{u^{' 2}}{u^{2}} = - \frac{u^{″}}{u} + v^{2} = S (x) - R (x) \frac{u^{'}}{u} + v^{2} \end{matrix}$ 因此 $\begin{matrix} (27) & u^{″} - R (x) u^{'} + S (x) u = 0 \end{matrix}$

12.2.7 高阶线性方程和线性微分方程组

对于 $n$ 阶线性方程 $\begin{matrix} (28) & y^{(n)} + a_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = f (x) \end{matrix}$ 可令 $y = (y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)})$ ，则有 $\begin{matrix} (29) & \frac{d y}{d x} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{0} & - a_{1} & - a_{2} & \dots & - a_{n - 1} \end{matrix}) y + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ f \end{matrix}) \end{matrix}$ 因此我们只需要关注线性微分方程组 $\begin{matrix} (30) & \frac{d y}{d x} = A (x) y + b (x) \end{matrix}$

我们考虑一个简单的情形：若 $A$ 与 $x$ 无关，即常系数线性微分方程组，我们可以“形式地”仿照一阶线性微分方程那样，令 $\begin{matrix} (31) & {[e^{A x} y]}^{'} = e^{A x} [y^{'} + A y] = e^{A x} b (x) ⟹ y = e^{- A x} [\int e^{A x} b (x) d x + c] \end{matrix}$ 那么这里的 $e^{A}$ 是什么呢？仿照实数中的Taylor展开，我们可以定义方阵的矩阵指数为 $\begin{matrix} (32) & \exp A = e^{A} := \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{A^{k}}{k!} \end{matrix}$ 其运算结果仍是一个方阵，且与 $A$ 对易。可以证明这个级数对所有方阵 $A$ 都收敛，且有 $\begin{matrix} (33) & \frac{d}{d x} e^{A x} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{d}{d x} \frac{(A x)^{k}}{k!} = \sum_{k = 1}^{+ \infty} k x^{k - 1} \frac{A^{k}}{k!} = A \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(A x)^{k}}{k!} = A e^{A x} \end{matrix}$ 因此 $\begin{matrix} (34) & y = e^{A x} b (x) ⟹ y = e^{- A x} [\int_{x_{0}}^{x} e^{A t} b (t) d t + c] \end{matrix}$ 确为常系数线性微分方程组的通解。

如何计算矩阵指数呢？我们可以将矩阵 $A$ 对角化，即 $A = P Λ P^{- 1}$ ，其中 $Λ$ 是对角矩阵、其对角元为 $A$ 的特征值， $P$ 是可逆矩阵、其列向量是 $A$ 的特征向量。则 $\begin{matrix} (35) & e^{A} = e^{P Λ P^{- 1}} = P e^{Λ} P^{- 1} = P (\begin{matrix} e^{λ_{1}} \\ e^{λ_{2}} \\ ⋱ \\ e^{λ_{n}} \end{matrix}) P^{- 1} \end{matrix}$ 如果矩阵 $A$ 不可对角化，我们可以将其分解为 $A = S + N$ ，其中 $S$ 可对角化， $N$ 是幂零矩阵（即存在 $k \in N^{*}$ 使得 $N^{k} = 0$ ）且 $S, N$ 对易，此时我们有 $\begin{matrix} (36) & e^{A} = e^{S + N} = e^{S} e^{N} = e^{S} \sum_{k = 0}^{k - 1} \frac{N^{k}}{k!} \end{matrix}$ 一种常见的分解方式利用了Jordan标准形，即 $A = P J P^{- 1}$ ，其中 $J$ 是Jordan块矩阵，其对角元为 $A$ 的特征值、上三角第一副对角线元素为 $0$ 或 $1$ ，其余元素均为 $0$ 。设 $J = Λ + U$ ，其中 $Λ$ 为 $J$ 的对角部分， $U$ 为 $J$ 的上三角部分，则 $\begin{matrix} (37) & S = P Λ P^{- 1}, N = P U P^{- 1} \end{matrix}$ 容易验证 $S, N$ 即为满足要求的分解。

12.2.8 一阶微分方程和斜率场

在坐标平面的每个点 $(x, y) \in R^{2}$ 处，微分方程 $y^{'} = f (x, y)$ 给出一个斜率值 $f (x, y)$ ，这样形成一个斜率场（也称为方向场）。微分方程的解 $y = f (x)$ 的函数图像（称为斜率场的积分曲线）所经之处的切线斜率都与斜率场的值相同。

Mathematica中的VectorPlot函数可以绘制斜率场，示例代码如图12.2.1所示。

¹参考：谢惠民，恽自求，易法槐，钱定边：数学分析习题课讲义（第2版）（上册）。