5.2 知识点复习

5.2.1 导数与微分的概念，函数的局部线性近似

重要概念回顾

(1)

内点、开集、线性函数。

(2)

可微：设$a$是集合$I\subseteq \mathbb{R}$的内点，称$f:I\to \mathbb{R}$在$a$处可微，若存在常数$A$使得$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(a+h)=f(a)+Ah+o(h),h\to 0\end{array}$$ 此时称以$A$为系数的线性函数$h\mapsto Ah$为$f$在$a$处的微分，记为$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{d}f(a):\mathbb{R}\to \mathbb{R},\mathrm{d}f(a)(h)=Ah\end{array}$$

(3)

可导：（接可微）易见$$\begin{array}{}\text{(3)}& A=\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\end{array}$$ 称上式等号右侧的极限为$f$在$a$处的导数，记为$f^{\prime }(a)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)$。所以$$\begin{array}{}\text{(4)}& \mathrm{d}f(a)(h)=f^{\prime }(a)h\end{array}$$

(4)

导函数：若$f$在任意$x\in I$处都可微，则称$f$在$I$上可微，此时称$f^{\prime }:I\to \mathbb{R}$为$f$在$I$上的导函数。

重要定理回顾 若$f$在$a$可微，则$f(x)-f(a)=\mathcal{O}(x-a)$，$x\to a$，从而$f$在$a$处连续。

应用

(1)

任何线性函数$L(x)=\lambda x$是可微的，且有$\mathrm{d}L(a)=L$。用传统符号表示为$\mathrm{d}(\lambda x)=\lambda \mathrm{d}x$。

(2)

$f(x)=x^2$的微分是$\mathrm{d}(x^2)=2x\mathrm{d}x$。

(3)

$f(x)=\frac{1}{x}$的微分是$\mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$。

(4)

$f(x)={\mathrm{e}}^x$的微分是$\mathrm{d}({\mathrm{e}}^x)={\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$。

(5)

$f(x)=\sin x$的微分是$\mathrm{d}(\sin x)=\cos x\mathrm{d}x$，$f(x)=\cos x$的微分是$\mathrm{d}(\cos x)=-\sin x\mathrm{d}x$。

(6)

$f(x)=\sqrt[3]{x}$在$x=0$处连续，但不可微。

注

(1)

微分的几何意义：上述定义表明，若$f$在$a$处可微，则在$a$附近$f$可以近似写为$f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$，即$f$在$a$处的图像在$a$点的切线附近可以近似看作一条直线。

(2)

微分的符号表达：定义坐标映射函数$\mathrm{d}x(x_0):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，$\mathrm{d}x(x_0)(h)=h$，则有$\mathrm{d}f(x_0)(h)=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x(x_0)(h)$。所以作为函数，$\mathrm{d}f(x)=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$。

(3)

绝大多数作者在定义可微和导数时，要求$a$是定义域内点；但也不尽然，比如Terence Tao在Analysis I 4th edition中仅要求$a\in I$是$I$的聚点。

5.2.2 导数与微分的运算法则

重要定理回顾

(1)

复合函数导数的链索法则：设$f$在$x_0$可微，$g$在$f(x_0)$可微，则$g\circ f$在$x_0$可微，且$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}\mathrm{d}(g\circ f)(x_0)& =\mathrm{d}g(y_0)\circ \mathrm{d}f(x_0)\\ (g\circ f{)}^{\prime }(x_0)& =g^{\prime }(f(x_0))\cdot f^{\prime }(x_0)\\ {\frac{\mathrm{d}(g\circ f)}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}& ={\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}y}|}_{y=y_0}\cdot {\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}\end{array}\end{array}$$

(2)

导数的四则运算：设$f,g$在$x_0$处可微，$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$，则

• 线性：$\alpha f+\beta g$在$a$可微，且$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}\mathrm{d}(\alpha f+\beta g)(a)& =\alpha \mathrm{d}f(a)+\beta \mathrm{d}g(a)\\ (\alpha f+\beta g{)}^{\prime }(a)& =\alpha f^{\prime }(a)+\beta g^{\prime }(a)\end{array}\end{array}$$
• Leibniz：$fg$在$a$可微，且$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{rl}\mathrm{d}(fg)(a)& =f(a)\mathrm{d}g(a)+g(a)\mathrm{d}f(a)\\ (fg{)}^{\prime }(a)& =f(a)g^{\prime }(a)+g(a)f^{\prime }(a)\end{array}\end{array}$$
• 若$g(a)\ne 0$，则$\frac{f}{g}$在$a$可微，且$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{rl}\mathrm{d}\left(\frac{f}{g}\right)(a)& =\frac{g(a)\mathrm{d}f(a)-f(a)\mathrm{d}g(a)}{g^2(a)}\\ {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }(a)& =\frac{g(a)f^{\prime }(a)-f(a)g^{\prime }(a)}{g^2(a)}\end{array}\end{array}$$

(3)

逆映射定理：设函数$f:(a,b)\to (\alpha ,\beta )$是严格单调的连续函数，$f$在$x_0$可微，且$f^{\prime }(x_0)\ne 0$，则$f$的反函数$f^{-1}:(\alpha ,\beta )\to (a,b)$在$y_0=f(x_0)$处可微，且$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{rl}\mathrm{d}(f^{-1})(y_0)& =(\mathrm{d}f(x_0){)}^{-1}\\ (f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)& =\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\\ {\frac{\mathrm{d}(f^{-1})}{\mathrm{d}y}|}_{y=y_0}& =\frac{1}{{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}}\end{array}\end{array}$$

应用

(1)

$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$，$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$。

(2)

$(\ln x)=\frac{1}{x}$，$(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$，$(x^x{)}^{\prime }=x^x(1+\ln x)$，$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$。

(3)

当$0<\epsilon <1$时，$f(x)=x-\epsilon \sin x$有连续的反函数，且$(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=\frac{1}{1-\epsilon \cos (f^{-1}(y))}$。

注

(1)

一阶微分的形式不变性：设$z=z(y)$，$y=y(x)$，$x=x(u)$，则$$\begin{array}{}\text{(10)}& \mathrm{d}z=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}\mathrm{d}u\end{array}$$ 其本质是曲线之间的相切关系与坐标系的选取无关。

5.2.3 高阶导数

重要概念回顾

(1)

一阶导函数、二阶可微（导数）、$n$阶可微（导数）。

(2)

${\mathcal{C}}^1$函数、${\mathcal{C}}^n$函数、${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$函数。

重要定理回顾

(1)

和与积的高阶导数：设$f,g$在$x_0$处$n$阶可微，$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$，则

• 线性：$\alpha f+\beta g$在$a$处$n$阶可微，且$$\begin{array}{}\text{(11)}& (\alpha f+\beta g{)}^{(n)}(a)=\alpha f^{(n)}(a)+\beta g^{(n)}(a)\end{array}$$
• Leibniz：$fg$在$a$处$n$阶可微，且$$\begin{array}{}\text{(12)}& (fg{)}^{(n)}(a)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}(a)g^{(n-k)}(a)\end{array}$$

(2)

复合、商、反函数的高阶导数：设$f$在$x_0$处$n$阶可微，则

• 复合函数：若$g$在$f(x_0)$处$n$阶可微，则$g\circ f$在$x_0$处$n$阶可微。作为特例，$(g(ax+b){)}^{(n)}(x)=a^n{g}^{(n)}(ax+b)$。
• 商函数：若$f(x_0)\ne 0$，则$\frac{1}{f}$在$x_0$处$n$阶可微。
• 逆函数：若$f$在$x_0$的邻域内$n$阶可微，且有连续的反函数，$f^{\prime }(x_0)\ne 0$，则$f^{-1}$在$y_0=f(x_0)$处$n$阶可微。

(3)

设$f,g$在$x_0$处$n$阶可微，且$g(x_0)\ne 0$，则$\frac{f}{g}$在$x_0$处$n$阶可微。

(4)

初等函数（在定义域内）都是${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$函数。为使这个结论成立，我们约定幂函数的定义域为$(0,+\mathrm{\infty })$。

应用

(1)

Newton第二定律：$F=m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$。弹簧振子的运动方程为$m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-kx$。

(2)

${\left({\mathrm{e}}^{\sin x^2}\right)}^{″}={\mathrm{e}}^{\sin x^2}(4x^2{\cos }^2{x}^2-4x^2\sin x^2+2\cos x^2)$。

(3)

$({\mathrm{e}}^x{)}^{(n)}={\mathrm{e}}^x$，$({\mathrm{e}}^{\alpha x}{)}^{(n)}={\alpha }^n{\mathrm{e}}^{\alpha x}$，$(a^x{)}^{(n)}=a^x{\ln }^{n}a$，$(x^{\alpha }{)}^{(n)}=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)x^{\alpha -n}$，$(\ln x{)}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}(n-1)!\frac{1}{x^n}$。

(4)

$(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$，$(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+\frac{n\pi }{2})$，$({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}{)}^{(n)}={\mathrm{i}}^n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}$。

(5)

${\left(\frac{1}{x^2-1}\right)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n}n!}{2}[\frac{1}{(x-1{)}^{n+1}}-\frac{1}{(x+1{)}^{n+1}}]$。

(6)

${\tan }^{(5)}(0)=16$。

(7)

设$0<\epsilon <1$，$y=x-\epsilon \sin x$有${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$的反函数，且$$\begin{array}{}\text{(13)}& x=\frac{y}{1-\epsilon }-\frac{\epsilon y^3}{6(1-\epsilon {)}^4}+o(y^3)\end{array}$$

5.2.4 导数与微分的应用

重要概念回顾

(1)

正则曲线$\gamma :[a,b]\to {\mathbb{R}}^2$、切线$\gamma (t_0)+{\gamma }^{\prime }(t_0)(t-t_0)$、法线。

(2)

曲率：（Huygens-Newton）设$\gamma :(x(t),y(t)),t\in (a,b)$是一条正则曲线，满足$x(t),y(t)$都是${\mathcal{C}}^2$函数，且$$\begin{array}{}\text{(14)}& \left|\begin{array}{cc}{x}^{\prime }(t)& x^{″}(t)\\ y^{\prime }(t)& y^{″}(t)\end{array}\right|\ne 0,\mathrm{\forall }t\in (a,b)\end{array}$$ 则当$t\to t_0$时，$\gamma$在点$(x(t_0),y(t_0))$处的法线与点$(x(t_0),y(t_0))$处的法线的交点有极限，这个极限$C$称为$\gamma$在点$(x(t_0),y(t_0))$处的曲率圆中心，$C$到点$(x(t_0),y(t_0))$的距离$R$称为曲率半径，称以$C$为圆心以$R$为半径的圆为$\gamma$在点$(x(t_0),y(t_0))$处的曲率圆，称曲率半径的倒数$\kappa =\frac{1}{R}$为$\gamma$在点$(x(t_0),y(t_0))$处的曲率。

(3)

平面极坐标系、沿曲线的坐标系，不同坐标系下运动的速度、加速度。

(4)

微分方程$y^{\prime }(t)=f(t,y)$的斜率场（方向场）、解、积分曲线。

(5)

微分方程组$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=f(x,y)\\ y^{\prime }=g(x,y)\end{array}$的向量场、解、积分曲线。

重要定理回顾 曲率的计算公式：$$\begin{array}{}\text{(15)}& \kappa =\frac{|det\left(\begin{array}{cc}{x}^{\prime }(t_0)& x^{″}(t_0)\\ y^{\prime }(t_0)& y^{″}(t_0)\end{array}\right)|}{{[(x^{\prime }(t_0){)}^2+(y^{\prime }(t_0){)}^2]}^{\frac{3}{2}}}=\frac{|{\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{″}|}{|{\gamma }^{\prime }{|}^3}\end{array}$$

应用

(1)

$x=y^2$在$(a^2,a)$处的切线是$x=a^2+2a(y-a)$，法线是$y=a-2a(x-a^2)$。

(2)

平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后汇聚于焦点。

(3)

当$t\to a$时抛物线$x=y^2$在点$(a^2,a)$处的法线与在点$(t^2,t)$处的法线的交点的极限为$(\frac{1}{2}+3a^2,-4a^3)$，曲率为$$\begin{array}{}\text{(16)}& \kappa =\frac{1}{R}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}+3a^2+12a^4+16a^6}}\end{array}$$

(4)

从Kepler定律到万有引力定律。

(5)

Newton-Raphson方法：$$\begin{array}{}\text{(17)}& y\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)⟹x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}\end{array}$$

(6)

放射性物质衰变、Malthus人口模型、修正的人口模型（Logistic模型）、捕猎模型、捕食者—饵模型（Lotka-Volterra模型）、流感模型、弹簧振子—Hooke定律、带有阻尼的弹簧振子、单摆。