13.2 知识点复习

13.2.1 Fourier级数

重要概念回顾

(1)

函数内积：设$f,g$为以$2\pi$为周期的函数，则定义$f,g$的内积为$$\begin{array}{}\text{(1)}& ⟨f,g⟩={\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

(2)

Fourier级数：设$f,g$为以$2\pi$为周期的函数，可积且绝对可积，定义$$\begin{array}{}\text{(2)}& A_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x,B_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x\end{array}$$ 则$f$的（形式）Fourier级数为$$\begin{array}{}\text{(3)}& f(x)\sim \frac{1}{2}{A}_0+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)\end{array}$$

应用

(1)

利用分离变量法求解一维波动方程：$$\begin{array}{}\text{(4)}& \{\begin{array}{ll}{u}_{tt}=a^2{u}_{xx},& x\in (-\frac{T}{2},\frac{T}{2}),t>0\\ u(x,0)=\phi (x),& x\in (-\frac{T}{2},\frac{T}{2})\\ u_t(x,0)=\psi (x),& x\in (-\frac{T}{2},\frac{T}{2})\\ u(-\frac{T}{2},t)=u(\frac{T}{2},t)=0,& t>0\end{array}\end{array}$$

(2)

证明：$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin nx}{n}=\frac{\pi -x}{2}$，收敛当且仅当$x\ne 2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）。

(3)

证明：$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\cos nx}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}+\frac{x^2-2\pi x}{4}$，由此可得$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2}\cos nx=\frac{3x^2-{\pi }^2}{12}$。

注 设$m,n\in \mathbb{N}$，则有$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}⟨\cos nx,\cos mx⟩& =\{\begin{array}{ll}2\pi ,& m=n=0\\ \pi ,& m=n\ge 1\\ 0,& m\ne n\end{array}\\ ⟨\sin nx,\sin mx⟩& =\{\begin{array}{ll}\pi ,& m=n\ge 1\\ 0,& m\ne n\end{array}\\ ⟨\cos nx,\sin mx⟩& =0\end{array}\end{array}$$

13.2.2 Fourier级数的收敛性

重要概念回顾

(1)

${\mathcal{L}}^2$范数：设$f$为以$2\pi$为周期的函数，则定义$f$的${\mathcal{L}}^2$范数为$$\begin{array}{}\text{(6)}& \parallel f{\parallel }_2=⟨f,f⟩=\sqrt{{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^2\mathrm{d}x}\end{array}$$

(2)

平方收敛：若当$n\to +\mathrm{\infty }$有$\parallel f_n-f{\parallel }_2\to 0$，则称$f_n$平方收敛于$f$，记作$f_n\stackrel{{\mathcal{L}}^2}{\to }f$。

重要定理回顾

(1)

逐点收敛：设$f$分段连续、分段可微，且对$f$的任意跳跃间断点$x_0$，$f^{\prime }(x_0^{-}),f^{\prime }(x_0^{+})$有限，则$\mathrm{\forall }x$，$f$的Fourier级数$S$收敛，且有$$\begin{array}{}\text{(7)}& S(x)=\frac{1}{2}[f(x^{+})+f(x^{-})]\end{array}$$

(2)

最小二乘：设$S_N=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^N(A_n\cos nx+B_n\sin nx)$为$f$的Fourier级数的部分和，记$$\begin{array}{}\text{(8)}& W_N=\{\frac{{\alpha }_0}{2}+\sum _{n=1}^N({\alpha }_n\cos nx+{\beta }_n\sin nx)|{\alpha }_n,{\beta }_n\in \mathbb{R}\}\end{array}$$ 所有以$2\pi$为周期的平方可积函数${\mathcal{L}}_{2\pi }^2[-\pi ,\pi ]$构成Hilbert空间，$W_N\subseteq {\mathcal{L}}^2$为线性子空间且$\dim W_N=2N+1$，则有$$\begin{array}{}\text{(9)}& S_N=\underset{T\in W_N}{\arg \min }\parallel f-T{\parallel }_2\end{array}$$ 即在所有$1\sim N$倍频正余弦函数的线性组合$W_N$中，Fourier级数的前$N$项部分和$S_N$是距离$f$最近的一个。

(3)

Bessel不等式：$$\begin{array}{}\text{(10)}& \frac{A_0^2}{2}+\sum _{n=1}^N(A_n^2+B_n^2)\le \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^2\mathrm{d}x\end{array}$$

(4)

Parseval等式：$$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{A_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n^2+B_n^2)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^2\mathrm{d}x\end{array}$$

(5)

$\mathrm{\forall }f\in {\mathcal{L}}^2$，Parseval等式成立，且$S_N\stackrel{{\mathcal{L}}^2}{\to }f$。

(6)

设$f(x)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)$，$g(x)=\frac{{\alpha }_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}({\alpha }_n\cos nx+{\beta }_n\sin nx)$，则有$$\begin{array}{}\text{(12)}& \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)\mathrm{d}x=\frac{A_0{\alpha }_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n{\alpha }_n+B_n{\beta }_n)\end{array}$$

应用

(1)

证明等周不等式：设简单闭${\mathcal{C}}^2$曲线$\gamma$的长度为$L$、围成的面积为$A$，则有$L^2\ge 4\pi A$。

(2)

设$\lambda \in \mathbb{R}$，寻找以下常微分方程的周期解：$$\begin{array}{}\text{(13)}& \{\begin{array}{ll}{y}^{″}+\lambda y=\sin x,& x\in \mathbb{R}\\ y(0)=y(2\pi ),y^{\prime }(0)=y^{\prime }(2\pi )\end{array}\end{array}$$

注 Bessel不等式、Parseval等式本质上都是${\mathcal{L}}^2$空间的内积。以$⟨f,g⟩$为例，我们有$$\begin{array}{}\text{(14)}& \begin{array}{rl}⟨f,g⟩& =⟨\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n\cos nx+B_n\sin nx),\frac{{\alpha }_0}{2}+\sum _{m=1}^{+\mathrm{\infty }}({\alpha }_m\cos mx+{\beta }_m\sin mx)⟩\\ & =⟨\frac{A_0}{2},\frac{{\alpha }_0}{2}⟩+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{+\mathrm{\infty }}⟨A_n\cos nx+B_n\sin nx,{\alpha }_m\cos mx+{\beta }_m\sin mx⟩\\ & =\frac{A_0{\alpha }_0}{2}\pi +\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n{\alpha }_n⟨\cos nx,\cos nx⟩+B_n{\beta }_n⟨\sin nx,\sin nx⟩)\\ & =\frac{A_0{\alpha }_0}{2}\pi +\pi \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n{\alpha }_n+B_n{\beta }_n)\end{array}\end{array}$$ 令$A_n={\alpha }_n$、$B_n={\beta }_n$即可得到Parseval等式，取有限项和即为Bessel不等式。

13.2.3 *Fourier变换

我们从任意对称区间上的Fourier级数出发，通过对区间长度取极限得到Fourier变换的表达式。

首先考虑复数形式的Fourier级数。设$f\in {\mathcal{L}}^1[-L,L]$，即${\int }_{-L}^L|f(x)|\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }$或称$f$在$[-L,L]$上绝对可积，定义$f$的（形式）Fourier级数为$$\begin{array}{}\text{(15)}& f(x)\sim \frac{1}{2}{A}_0+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n\cos \frac{n\pi x}{L}+B_n\sin \frac{n\pi x}{L})\end{array}$$ 其中$$\begin{array}{}\text{(16)}& A_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\mathrm{d}x,B_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}\mathrm{d}x\end{array}$$ 合并写为¹$$\begin{array}{}\text{(17)}& \begin{array}{rl}f(x)& \sim \frac{1}{2}{A}_0+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{L}[\cos \frac{n\pi x}{L}{\int }_{-L}^{L}f(y)\cos \frac{n\pi y}{L}\mathrm{d}y+\sin \frac{n\pi x}{L}{\int }_{-L}^{L}f(y)\sin \frac{n\pi y}{L}\mathrm{d}y]\\ & =\frac{1}{2}{A}_0+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(y)\cos \frac{n\pi (x-y)}{L}\mathrm{d}y=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{2L}{\int }_{-L}^{L}f(y)\cos \frac{n\pi (x-y)}{L}\mathrm{d}y\end{array}\end{array}$$ 由于$$\begin{array}{}\text{(18)}& \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{2L}{\int }_{-L}^{L}f(y)\sin \frac{n\pi (x-y)}{L}\mathrm{d}y=0\end{array}$$ 故有$$\begin{array}{}\text{(19)}& f(x)\sim \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{2L}{\int }_{-L}^{L}f(y){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\pi (x-y)/L}\mathrm{d}y=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\underset{C_n}{\underbrace{\frac{1}{2L}{\int }_{-L}^{L}f(y){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}n\pi y/L}\mathrm{d}y}}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\pi x/L}=:\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\pi x/L}\end{array}$$ 由此得到Fourier级数的复数形式。

Fourier级数研究的是有界（对称）区间上的函数，对区间长度取极限、将其延伸到无界区间（即$\mathbb{R}$），就可得到Fourier变换。设$f\in {\mathcal{L}}^1(\mathbb{R})$，即${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|f(x)|\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }$，记$$\begin{array}{}\text{(20)}& {\hat{f}}_L(\xi ):={\int }_{-L}^{L}f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi x}\mathrm{d}x,\hat{f}(\xi ):={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi x}\mathrm{d}x,\xi \in \mathbb{R}\end{array}$$ 考虑$[-L,L]$上的Fourier级数$$\begin{array}{}\text{(21)}& f(x)\sim \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\pi x/L}=\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\hat{f}}_L\left(\frac{n\pi }{L}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\pi x/L}\frac{\pi }{L}\end{array}$$ 现在令$L\to +\mathrm{\infty }$，考虑这个求和式的几何意义。我们跳过对收敛性的讨论，因为它不是我们的重点，感兴趣的同学可以自行尝试。

令$\xi =\frac{n\pi }{L}$，即将$\mathbb{R}$以原点为起点、向左右每隔$\mathrm{\Delta }\xi =\frac{\pi }{L}$划分区间，用区间的左端点${\xi }_n=\frac{n\pi }{L}$代替区间$[\frac{n\pi }{L},\frac{(n+1)\pi }{L})$上${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\xi }\hat{f}(\xi )$的函数值，由此得到的Riemann和为$$\begin{array}{}\text{(22)}& \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\hat{f}}_L\left(\frac{n\pi }{L}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\pi x/L}\frac{\pi }{L}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\hat{f}}_L({\xi }_n){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x{\xi }_n}\mathrm{\Delta }\xi \stackrel{L\to +\mathrm{\infty }}{\to }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\hat{f}(\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\xi }\mathrm{d}\xi \end{array}$$ 由此得到Fourier变换和逆变换的公式²$$\begin{array}{}\text{(23)}& \hat{f}(\xi )=\mathcal{F}[f](\xi )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi x}\mathrm{d}x,f(x)={\mathcal{F}}^{-1}[\hat{f}](x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\hat{f}(\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\xi }\mathrm{d}\xi \end{array}$$ 与Fourier级数的复数形式对比即可发现，Fourier变换相当于把“有界区间$[-L,L]$、在离散指标集$n\in \mathbb{Z}$上对$C_n$的求和”推广到“无界区间$\mathbb{R}$、在连续指标集$\xi \in \mathbb{R}$上对$\hat{f}(\xi )$的积分”。

Fourier变换可以推广到高维空间，其变换与逆变换的公式为$$\begin{array}{}\text{(24)}& \hat{f}(\mathit{\xi })=\mathcal{F}[f](\mathit{\xi })={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(\mathit{x}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\mathit{\xi }\cdot \mathit{x}}{\mathrm{d}}^n\mathit{x},f(\mathit{x})={\mathcal{F}}^{-1}[\hat{f}](\mathit{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{f}(\mathit{\xi }){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathit{\xi }\cdot \mathit{x}}{\mathrm{d}}^n\mathit{\xi }\end{array}$$

13.2.4 *Fourier变换的性质

Fourier变换的主要性质如下。同样地，我们不在此处证明它们，感兴趣的读者可自行证明。

(1)

线性性质：$$\begin{array}{}\text{(25)}& \mathcal{F}[c_{1}f+c_{2}g]=c_1\mathcal{F}[f]+c_2\mathcal{F}[g]\end{array}$$

(2)

微分性质：$$\begin{array}{}\text{(26)}& \mathcal{F}\left[\frac{{\partial }^{k_1+\cdots +k_n}f}{\partial x_1^{k_1}\cdots \partial x_n^{k_n}}\right](\mathit{\xi })=(\mathrm{i}{\xi }_1{)}^{k_1}\cdots (\mathrm{i}{\xi }_n{)}^{k_n}\mathcal{F}[f](\mathit{\xi })\end{array}$$

(3)

积分性质：若${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x_j}f(\mathit{y})\mathrm{d}{y}_j$的Fourier变换存在，且$\hat{f}(\mathbf{0})=0$，则$$\begin{array}{}\text{(27)}& \mathcal{F}[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x_j}f(\mathit{y})\mathrm{d}{y}_j](\mathit{\xi })=\frac{1}{\mathrm{i}{\xi }_j}\mathcal{F}[f](\mathit{\xi })\end{array}$$

(4)

像函数微分性质：$$\begin{array}{}\text{(28)}& \mathcal{F}[(-\mathrm{i}{x}_1{)}^{k_1}\cdots (-\mathrm{i}{x}_n{)}^{k_n}f(\mathit{x})]=\frac{{\partial }^{k_1+\cdots +k_n}\hat{f}}{\partial {\xi }_1^{k_1}\cdots \partial {\xi }_n^{k_n}}\end{array}$$

(5)

像函数积分性质：下式中$C_1,C_2$为适当的常数$$\begin{array}{}\text{(29)}& \mathcal{F}\left[\frac{f(\mathit{x})}{-\mathrm{i}{x}_j}\right](\mathit{\xi })={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{{\xi }_j}\hat{f}(\mathit{y})\mathrm{d}{y}_j+C_1\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(30)}& \mathcal{F}\left[\frac{f(\mathit{x})}{\mathrm{i}{x}_j}\right](\mathit{\xi })={\int }_{{\xi }_j}^{+\mathrm{\infty }}\hat{f}(\mathit{y})\mathrm{d}{y}_j+C_2\end{array}$$

(6)

频移与时移性质：$$\begin{array}{}\text{(31)}& \mathcal{F}[f(\mathit{x}){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\mathit{\xi }}_0\cdot \mathit{x}}](\mathit{\xi })=\hat{f}(\mathit{\xi }-{\mathit{\xi }}_0)\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(32)}& \mathcal{F}[f(\mathit{x}-{\mathit{x}}_0)](\mathit{\xi })=\hat{f}(\mathit{\xi }){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\mathit{x}}_0\cdot \mathit{\xi }}\end{array}$$

(7)

相似性质：$$\begin{array}{}\text{(33)}& \mathcal{F}[f(k_1{x}_1,\cdots ,k_n{x}_n)](\xi )=\frac{1}{|k_1\cdots k_n|}\hat{f}(\frac{{\xi }_1}{k_1},\cdots ,\frac{{\xi }_n}{k_n})\end{array}$$

(8)

卷积性质：$$\begin{array}{}\text{(34)}& \mathcal{F}[f\ast g]=\mathcal{F}[f]\mathcal{F}[g]\end{array}$$ 其中卷积的定义为$$\begin{array}{}\text{(35)}& (f\ast g)(\mathit{x})={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(\mathit{y})g(\mathit{x}-\mathit{y}){\mathrm{d}}^n\mathit{y}\end{array}$$

(9)

像函数卷积性质：$$\begin{array}{}\text{(36)}& \mathcal{F}[fg]=\frac{1}{(2\pi {)}^n}\mathcal{F}[f]\ast \mathcal{F}[g]\end{array}$$

(10)

反射性质：$$\begin{array}{}\text{(37)}& \mathcal{F}[\hat{f}](\mathit{\xi })=(2\pi {)}^{n}f(-\mathit{\xi })\end{array}$$

由于微分性质和卷积性质的存在，Fourier变换可以把函数空间中（对其中一个自变量）的微分运算变成像函数空间中（对变换变量）的代数运算，在求解偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)时可以减少自变量个数，特别是将两变量PDE降为ODE、为求解带来方便。因此Fourier变换最常用的应用就是求解PDE，我们将在习题课讲解中举几个例子。