13.2 知识点复习

13.2.1 Fourier级数

重要概念回顾

(1)

函数内积：设$f,g$为以$2\pi$为周期的函数，则定义$f,g$的内积为$$\begin{array}{}\text{(1)}& ⟨f,g⟩={\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

(2)

Fourier级数：设$f,g$为以$2\pi$为周期的函数，可积且绝对可积，定义$$\begin{array}{}\text{(2)}& A_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x,B_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x\end{array}$$ 则$f$的（形式）Fourier级数为$$\begin{array}{}\text{(3)}& f(x)\sim \frac{1}{2}{A}_0+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)\end{array}$$

应用

(1)

利用分离变量法求解一维波动方程：$$\begin{array}{}\text{(4)}& \{\begin{array}{ll}{u}_{tt}=a^2{u}_{xx},& x\in (-\frac{T}{2},\frac{T}{2}),t>0\\ u(x,0)=\phi (x),& x\in (-\frac{T}{2},\frac{T}{2})\\ u_t(x,0)=\psi (x),& x\in (-\frac{T}{2},\frac{T}{2})\\ u(-\frac{T}{2},t)=u(\frac{T}{2},t)=0,& t>0\end{array}\end{array}$$

(2)

证明：$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin nx}{n}=\frac{\pi -x}{2}$，收敛当且仅当$x\ne 2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）。

(3)

证明：$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\cos nx}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}+\frac{x^2-2\pi x}{4}$，由此可得$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2}\cos nx=\frac{3x^2-{\pi }^2}{12}$。

注

(1)

设$m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，则有$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}⟨\cos nx,\cos mx⟩& =\{\begin{array}{ll}\pi ,& m=n\\ 0,& m\ne n\end{array}\\ ⟨\sin nx,\sin mx⟩& =\{\begin{array}{ll}\pi ,& m=n\\ 0,& m\ne n\end{array}\\ ⟨\cos nx,\sin mx⟩& =0\end{array}\end{array}$$

13.2.2 Fourier级数的收敛性

重要概念回顾

(1)

${\mathcal{L}}^2$范数：设$f$为以$2\pi$为周期的函数，则定义$f$的${\mathcal{L}}^2$范数为$$\begin{array}{}\text{(6)}& \parallel f{\parallel }_2=⟨f,f⟩=\sqrt{{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^2\mathrm{d}x}\end{array}$$

(2)

平方收敛：若当$n\to +\mathrm{\infty }$有$\parallel f_n-f{\parallel }_2\to 0$，则称$f_n$平方收敛于$f$，记作$f_n\stackrel{{\mathcal{L}}^2}{\to }f$。

重要定理回顾

(1)

逐点收敛：设$f$分段连续、分段可微，且对$f$的任意跳跃间断点$x_0$，$f^{\prime }(x_0^{-}),f^{\prime }(x_0^{+})$有限，则$\mathrm{\forall }x$，$f$的Fourier级数$S$收敛，且有$$\begin{array}{}\text{(7)}& S(x)=\frac{1}{2}[f(x^{+})+f(x^{-})]\end{array}$$

(2)

最小二乘：设$S_N=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^N(A_n\cos nx+B_n\sin nx)$为$f$的Fourier级数的部分和，记$$\begin{array}{}\text{(8)}& W_N=\{\frac{{\alpha }_0}{2}+\sum _{n=1}^N({\alpha }_n\cos nx+{\beta }_n\sin nx)|{\alpha }_n,{\beta }_n\in \mathbb{R}\}\end{array}$$ 则“所有以$2\pi$为周期的平方可积函数”${\mathcal{L}}_{2\pi }^2[-\pi ,\pi ]$是一个Hilbert空间，$W_N\subseteq {\mathcal{L}}^2$为线性子空间且$\dim W_N=2N+1$，则有$$\begin{array}{}\text{(9)}& S_N=\arg \underset{T\in W_N}{min}\parallel f-T{\parallel }_2\end{array}$$

(3)

Bessel不等式：$$\begin{array}{}\text{(10)}& \frac{A_0^2}{2}+\sum _{n=1}^N(A_n^2+B_n^2)\le \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^2\mathrm{d}x\end{array}$$

(4)

Parseval等式：$$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{A_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n^2+B_n^2)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^2\mathrm{d}x\end{array}$$

(5)

$\mathrm{\forall }f\in {\mathcal{L}}^2$，Parseval等式成立，且$S_N\stackrel{{\mathcal{L}}^2}{\to }f$。

(6)

设$f(x)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)$，$g(x)=\frac{{\alpha }_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}({\alpha }_n\cos nx+{\beta }_n\sin nx)$，则有$$\begin{array}{}\text{(12)}& ⟨f,g⟩=\frac{A_0{\alpha }_0}{2}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(A_n{\alpha }_n+B_n{\beta }_n)\end{array}$$

应用

(1)

证明等周不等式：设简单闭${\mathcal{C}}^2$曲线$\gamma$的长度为$L$、围成的面积为$A$，则有$L^2\ge 4\pi A$。

(2)

设$\lambda \in \mathbb{R}$，寻找以下常微分方程的周期解：$$\begin{array}{}\text{(13)}& \{\begin{array}{ll}{y}^{″}+\lambda y=\sin x,& x\in \mathbb{R}\\ y(0)=y(2\pi ),y^{\prime }(0)=y^{\prime }(2\pi )\end{array}\end{array}$$