第2次作业评讲

3.1 第2次作业评讲

例 3.1.1 （例3）偏导数存在不能推出可微，全微分 $d f = 0$ 的充要条件是全增量 $Δ f = o (\sqrt{Δ x^{2} + Δ y^{2}})$ 。

例 3.1.2 （例4）设 $f (x, y) = \sqrt{| x y |}$ 。注意到 $f (x, x) = | x |$ ，不具有线性，故不可微。而 $f (x, 0) = f (0, y) = 0$ ，故 $f$ 在 $(0, 0)$ 处的偏导数存在，且均为0。

例 3.1.3 （例6）设 $f (x, y) = (x + y) φ (x, y)$ ，其中 $φ$ 在 $(0, 0)$ 处连续，求 $d f (0, 0)$ 。

解原做法使用了 $φ$ 可微这个原题未提供的条件。正确的做法为： $\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} f (x, y) - f (0, 0) & = (x + y) φ (x, y) = (x + y) [φ (0, 0) + o (1)] \\ = φ (0, 0) (x + y) + o (\sqrt{x^{2} + y^{2}}), (x, y) \to (0, 0) \end{aligned} \end{matrix}$ 非常遗憾的错误： $φ (x, y) = φ (0, 0) + o (r)$ 。 $◻$

例 3.1.4 （例8）(1) $\Leftarrow$ 利用中值定理；(2) $\Leftarrow$ 利用定积分。

例 3.1.5 （例9）设 $z = \arcsin \frac{x}{y}$ ，求 $d z$ 。

解注意函数定义域，考虑 $y < 0$ ！ $\begin{matrix} (2) & d z = \frac{1}{y \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{y^{2}}}} d x - \frac{x}{y^{2} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{y^{2}}}} d y = \frac{sgn y}{\sqrt{y^{2} - x^{2}}} d x - \frac{x}{| y | \sqrt{y^{2} - x^{2}}} d y \end{matrix}$ $◻$

例 3.1.6 （例13）(1) 在 $x \neq 0$ 时对 $f (x, x^{2}) = 1$ 求导可得 $f_{2}^{'} (x, x^{2}) = - \frac{1}{2}$ ，随后利用偏导数的连续性得到 $f_{2}^{'} (x, x^{2}) = - \frac{1}{2}$ 。

例 3.1.7 （例15）判断内法方向：沿梯度方向 $f$ 的值增大， $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ 的值减小，所以梯度方向恰好是曲线内法方向，因此 $\begin{matrix} (3) & \nabla f (P) \cdot n = \nabla f (P) \cdot \frac{\nabla f (P)}{∥ \nabla f (P) ∥} = ∥ \nabla f (P) ∥ = \sqrt{\frac{2}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} \end{matrix}$