3.1 第2次作业评讲

3.1.1 概念和计算部分

例 3.1.1 判断题:

(1)

(orange-circle74%)一元函数在一点处的左导数就是这个函数沿数轴向左的方向导数。

(2)

(red-circle58%)一个函数沿坐标轴方向的方向导数就是该函数对这个坐标求的偏导数。

(3)

(red-circle51%)一个可微函数在一点处所有偏导数组成的向量就是这个函数在该点处的梯度向量。

(1) 错。左导数的定义为(1)f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0 方向导数的定义为(2)fv(x0)=limt0+f(x0t)f(x0)t=t=x0xlimxx0f(x)f(x0)xx0

(2) 错。如果这个坐标轴上的基底向量不是单位向量,那么偏导数就不是方向导数。

(3) 错。如果自变量空间中没有内积,那么仍然可以定义函数的微分和偏导数,但是不能定义梯度;当自变量空间中有内积时,只有坐标系对应的基底向量是该内积下的一组单位正交基底向量,这个说法才是对的。

例 3.1.2 不定项选择题:

(4)

(red-circle68%)函数(3)f(x,y)={xyx2+y2,(x,y)(0,0)0,(x,y)=(0,0) 在原点处

(A)

连续

(B)

存在偏导数

(C)

偏导数连续

(D)

可微

(5)

(red-circle56%)函数(4)f(x,y)={(x2+y2)sin1x2+y2,(x,y)(0,0)0,(x,y)=(0,0) 在原点处

(A)

连续

(B)

存在偏导数

(C)

偏导数连续

(D)

可微

(6)

(red-circle54%)函数(5)f(x,y)={x3y,y00,y=0 在原点处

(A)

连续

(B)

沿所有方向都有方向导数

(C)

沿某些方向有方向导数,但沿另一些方向没有方向导数

(D)

可微

(4) AB。由于xy=O(x2+y2)f(x,y)=O(x2+y2)=o(1),故f(0,0)连续。计算可得(6)fx=y3(x2+y2)3/2,fx(x,kx)=k3(1+k2)3/2constfx(0,0)处不连续。同理fy亦在(0,0)处不连续,故f(0,0)处不存在偏导数。

注意到f(x,kx)=kx1+k2,故f沿向量vk:=(1,k)的导数为k1+k2。由于2v1=v0+v2,而(7)2×11+120+21+22f(v0+v2)fv0+fv2f(0,0)处不可微。

(5) ABD。由于f(x,y)=O(x2+y2),故f连续、可微、偏导数存在。计算可得(8)fx={2x(sin1x2+y21x2+y2cos1x2+y2),(x,y)(0,0)0,(x,y)=(0,0) 然而(9)fx(x,x)=2xsin12x21xcos12x20,x0fx(0,0)处不连续。同理fy亦在(0,0)处不连续,故f(0,0)处偏导数不连续。

(6) B。由于f(x,kx3)=kconst,故f不连续,自然不可微。设v=(cosθ,sinθ)T,计算可得(10)fv(0,0)=limt0f(tcosθ,tsinθ)f(0,0)t=limt0t2cos3θsinθ=0f(0,0)处沿所有方向都有方向导数。

PIC

图 3.1.1: 函数f(x,y)=x3y的图像

例 3.1.3 填空题:

(7)

(red-circle67%)已知f(u,v)R2上的可微函数,满足(11)f(1,1)=3,fu(1,1)=5,fv(1,1)=4 g(x,y)=x3f(xy,yx),则等高线g(x,y)=3(1,1)点处的切线方程为____。

计算可知(12)gx=3x2f(xy,yx)+x3[yfu(xy,yx)yx2fv(xy,yx)]gy=x3[xfu(xy,yx)+1xfv(xy,yx)] 代入(x,y)=(1,1)可得(13)gx(1,1)=10,gy(1,1)=9 根据可微(切空间)的定义可得切线方程为(14)0=dg(1,1)=gx(1,1)dx+gy(1,1)dy=10(x1)+9(y1)

3.1.2 解答和证明部分

例 3.1.4 (解答题1,keycap-1keycap-0orange-circle79%) 用偏导数判别函数连续性和可微性。设二元函数f(x,y)(0,0)处存在偏导数fx(0,0),在(0,0)的邻域内存在偏导数fy(x,y)。证明:

(1)

如果偏导数fy(x,y)有界,则f(0,0)处连续;

(2)

如果偏导数fy(x,y)连续,则f(0,0)处可微。

证明 (1) 由题知(15)|fy(x,y)|M,(x,y)B(0,δ0) 类似例2.3.22,仍然借助(x,0)为媒介,考虑keycap-1(16)|f(x,y)f(0,0)||f(x,y)f(x,0)|+|f(x,0)f(0,0)| 由Lagrange中值定理可得keycap-2(17)|f(x,y)f(x,0)|=|fy(x,η)y|M|y|,η(0,y)f(0,0)处关于x的偏导数存在,可知其关于x一元连续,故keycap-2(18)ε>0,δ1>0,|x|<δ1|f(x,0)f(0,0)|<ε2ε>0δ=min{δ0,δ1,ε2M},使得 (19)(x,y)<δ|f(x,y)f(0,0)|M|y|+ε2<Mδ+ε2Mε2M+ε2=εf(0,0)处连续。

(2) 参见例2.3.22,以(x,0)为媒介keycap-1x方向使用偏导数定义keycap-2y方向使用Lagrange中值定理keycap-2,可得f(0,0)处可微。

大家在使用大O、小o记号时一定要注意:确保你的记号与其他变量无关!不然,我们可以这么“证明”若f(x,y)分别关于xy连续,则f关于(x,y)二元连续:(20)f(x,y)=f(x,0)+o(1)=f(0,0)+o(1)+o(1)=f(0,0)+o(1) 我推荐大家采用ox(h)这种写法,强调这里关于h的小o可能与x有关。

例 3.1.5 (解答题2,keycap-3keycap-0yellow-circle86%) z(x,y)是可微函数,证明:

(1)

如果a,b是常数,且z满足恒等式azx+bzy=0,则对于任意(x0,y0),直线xx0a=yy0bz的等高线。

(2)

如果z满足恒等式xzx+yzy=0,则z是零次齐次函数,即对任意(x,y)(0,0)以及t>0z(tx,ty)=z(x,y)

(3)

对正整数k,证明zk次齐次函数当且仅当xzx+yzy=kz,即对任意 (x,y)(0,0)以及t>0z(tx,ty)=tkz(x,y)

证明 (1) 将直线改写为参数方程(21){x=x0+at,y=y0+bt 构造函数f(t):=z(x0+at,y0+bt),求导可得(22)f(t)=zxd(x0+at)dt+zyd(y0+bt)dt=azx+bzy=0,tRf(t)=f(0)=z(x0,y0)亦即直线是z的等高线。keycap-10

(2) 设t>0,构造函数f(t):=z(tx,ty),求导可得(23)f(t)=zx(tx,ty)d(tx)dt+zy(tx,ty)d(ty)dt=1t[txzx(tx,ty)+tyzy(tx,ty)]=0f(t)=f(1)=z(x,y),即z是零次齐次函数。keycap-10

(3) :设t>0,构造函数f(t):=tkz(tx,ty),求导可得(24)f(t)=ktk1z(tx,ty)+tk[zx(tx,ty)d(tx)dt+zy(tx,ty)d(ty)dt]=ktk1z(tx,ty)+tk1[txzx(tx,ty)+tyzy(tx,ty)]=ktk1z(tx,ty)+tk1kz(tx,ty)=0f(t)=f(1)=z(x,y),即zk次齐次函数。keycap-5

:等式两边对t求导可得(25)zx(tx,ty)d(tx)dt+zy(tx,ty)d(ty)dt=ktk1z(x,y)xzx(tx,ty)+yzy(tx,ty)=ktk1z(x,y)t=1即可。keycap-5

另证(3)t>0,构造函数g(t):=z(tx,ty),求导可得(26)g(t)=xzx(tx,ty)+yzy(tx,ty)=ktz(tx,ty)=kz(x,y)=ktg(t) 由此解得(27)g(t)=tkg(1)=tkz(x,y)

1 本题(3)问的难点在于如何理解xzx+yzy=kz,它的意思是:(28)xz1(x,y)+yz2(x,y)=kz(x,y),(x,y)(0,0)

2 本题(1)问是验证直线为z的等高线。若是证明z的等高线是直线,即求出方程的解,难度更大。求解一阶线性偏微分方程有专门的方法,称为特征线法,参见第4.2.8节。对于本题而言,特征线为(29)dxa=dybbxay=h 作换元(x,y)(ξ,η)=(bxay,y),计算可得(30)(xy)=(ξη)(ξxξyηxηy)=(ξη)(ba01)=(bξaξ+η) 代入原式可得(31)zη=0z=f(ξ)=f(bxay) 所以bxay=C即为z的等高线。这实际上是原一阶线性偏微分方程的首次积分

例 3.1.6 (解答题3,keycap-2keycap-0yellow-circle87%) 设函数z(x,y)是具有连续二阶偏导数。已知变换:(32){w=x+y+z,u=x,v=x+y

(1)

把微分方程zxx2zxy+zyy+zxzy=0改写为关于函数w=w(u,v)的偏微分方程。

(2)

求上述微分方程的解z(x,y)

(3)

【本问不计分】为什么要做上面这样的坐标变换?

(1) 计算可得keycap-10(33)(xy)=(uv)(uxuyvxvy)=(uv)(1011)=(u+vv)(2x22xy2yx2y2)=(u+vv)(u+vv)=(2u2+22uv+2v22uv+2v22uv+2v22v2) 首先作因变量换元zw=x+y+z,计算可得(34)wxx2wxy+wyy+wxwy=0 再作自变量换元(x,y)(u,v)=(x,x+y),计算可得(35)wuu+2wuv+wvvwxx2(wuv+wvv)wxy+wvvwyy+wu+wvwxwvwy=wuu+wu=0

(2) 换元后的方程相当于w关于u的常微分方程,但要注意任意常数可以与v有关keycap-2,解得keycap-8(36)w(u,v)=c1(v)eu+c2(v)=c1(x+y)ex+c2(x+y) 代入z=w(x+y),将(x+y)并入c2(x+y),得(37)z(x,y)=c1(x+y)ex+c2(x+y) 其中c1,c2C2

(3) 这是一个二阶线性偏微分方程,换元法是为了将其化为标准形,参见第4.2.9节。关注二阶项的系数a11wxx+2a12wxy+a13wyy,判别式Δ=a122a11a22=0,故这是一个抛物型方程,其特征线(38)dx2+2dxdy+dy2=0d(x+y)=0 由此解得唯一一个首次积分x+y=h。任选与此无关的变量(如x)构成换元(x,y)(u,v)=(x,x+y),使得原方程化为抛物型方程的标准式。

例 3.1.7 (解答题4,keycap-4keycap-0green-circle92%) u=u(x,y)是平面直角坐标系中的一个二阶连续可微函数,(r,θ)是平面极坐标。

(1)

求偏导数uruθ,并判断它们是否为函数u的方向导数,解释你的结论。

(2)

求函数u在极坐标系下的梯度。

(3)

证明(ux)2+(uy)2=(ur)2+(1ruθ)2。你能给这个等式一个直观解释吗?

(4)

把表达式uxx+uyy用极坐标下的偏导数表达。

(1) 计算可得keycap-6(39)(rθ)=(xy)(xrxθyryθ)=(xy)(cosθrsinθsinθrcosθ)=(cosθx+sinθyrsinθx+rcosθy)ur可视作u沿半径方向的方向导数keycap-2;但由于r的存在,uθ不是u沿角度方向的方向导数keycap-2

(2) 梯度与方向导数的关系为(40)uv=u,v 分别取v=r^=(cosθ,sinθ)v=θ^=(sinθ,cosθ),则(41)u,r^=ur,u,θ^=1ruθ 由于r^θ^,故keycap-10(42)u=u,r^r^+u,θ^θ^=urr^+1ruθθ^

(3) 容易发现keycap-10(43)u2=(ux)2+(uy)2=(ur)2+(1ruθ)2 这个等式的直观解释就是梯度与具体的坐标系无关

(4) 计算可得(44)(xy)=(rθ)(cosθrsinθsinθrcosθ)1=(rθ)(cosθsinθ1rsinθ1rcosθ)=(cosθr1rsinθθsinθr+1rcosθθ) 继续计算可得(45)2x2=cosθr(cosθr1rsinθθ)1rsinθθ(cosθr1rsinθθ)=cos2θ2r2+2r2cosθsinθθ1rcosθsinθ2rθ+1rsin2θ2rθ+1r2sin2θ2θ2 对于2y2,将上式中的θ换为θπ2即可,亦即(46)2y2=sin2θ2r22r2sinθcosθθ+1rsinθcosθ2rθ+1rcos2θ2rθ+1r2cos2θ2θ2 两者相加可得keycap-10(47)2x2+2y2=2r2+1rr+1r22θ2

第(4)问不要想当然地认为(48)2x2+2y2=(xy)(xy)(rθ)(cosθsinθ1rsinθ1rcosθ)(cosθ1rsinθsinθ1rcosθ)(rθ)=(rθ)(1001r2)(rθ)=2r2+1r22θ2 原因在于求偏导和乘法不可交换,(xy)=(rθ)B是个形式记号,是右边的矩阵系数直接乘在偏导算子的左边,而不是偏导算子作用在右边的矩阵上。