8.3 习题课讲解

8.3.1 第一型曲线和曲面积分

例 8.3.1 (例1) γ为椭圆x24+y23=1,其周长记为L 。求γ(2xy+3x2+4y2)dl

1 椭圆γ的方程可写成3x2+4y2=12,于是(1)γ(2xy+3x2+4y2)dl=L(12+2xy)dl=12L+γ2xydl 由对称性,γ2xydl=0。故γ(2xy+3x2+4y2)dl=12L

2 椭圆γ的参数方程为(2)x=2cosθ, y=3sinθ,θ[0,2π] 于是(3)dl=4sin2θ+3cos2θdθ,L=02π4sin2θ+3cos2θdθ 所求第一型曲线积分为(4) γ(2xy+3x2+4y2)dl=02π[2cosθ3sinθ+3(2cosθ)2+4(3sinθ)2]4sin2θ+3cos2θdθ=02π[23cosθsinθ+12]4sin2θ+3cos2θdθ=12L+3202πsin2θ7cos2θdθ=12L

例 8.3.2 (例2) 计算螺旋面S:x=rcosφ, y=rsinφ, z=rφ的面积,其中0rR, 0φ2π

1 计算可得(5)vr=(cosφsinφφ), vφ=(rsinφrcosφr),{E=vrvr=1+φ2G=vφvφ=2r2F=vrvφ=rφ 因此(6)|S|=SdS=02πdφ0REGF2dr=02π2+φ2dφ0Rrdr=R22[2+4π2+ln(2π+1+2π2)]

2 利用(7)dS=det[((x,y,z)(r,φ))T((x,y,z)(r,φ))]drdφ

例 8.3.3 (例3) 求圆柱面x2+y2=R2被拋物柱面z=R2x2及平面z=0 所截部分S的侧面积(图8.3.1)。

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图 8.3.1: 例3示意图

1(利用第一类曲线积分的几何意义)S看成定义在平面圆周L:x2+y2=R2上的函数z=R2x2的图像到曲线L之间的柱面(图8.3.1中深蓝色部分),计算可得(8)|S|=L(R2x2)dl=02π(R2R2cos2t)Rdt=πR3

2(第一类曲面积分) 曲面在柱坐标系下的参数方程为(9)x=Rcost, y=Rsint, z=sR2sin2t,0t2π, 0s1 计算可得(10)vt=(RsintRcostsR2sin2t), vs=(00R2sin2t),{E=R2+s2R4sin22tG=R4sin4tF=sR4sin2tsin2t 因此(11)dS=EGF2dtds=R3sin2tdt 于是(12)|S|=2πR3sin2tdt=πR3

3(第一类曲面积分) 由对称性,只求曲面在y>0的部分,此时曲面可以看成函数y=z(x,y)=R2x2的图像,定义域为{(x,z)0zR2x2}。计算可得(13)|S|=SdS=20zR2x21+y2dxdz=2RRdx0R2x21+(xR2x2)2dz=4R0RR2x2dx=4R30π2sin2tdt=πR3

8.3.2 第二型曲线积分

例 8.3.4 (star) 计算:(14)I=L+(y2dx+z2dy+x2dz) 其中L+是曲线{x2+y2+z2=a2x2+y2=axz0,a>0),从x轴正方向看去为逆时针方向。

证明 首先需要利用对称性。观察到曲线L关于Oxz平面对称,在对称点上y2dx(以及x2dz)大小相等、符号相反(见图 8.3.2),故有(15)L+y2dx=L+x2dz=0

xyOdxdxdydydzdz

图 8.3.2: 曲线L的对称性示意图

其次,本题的关键在于选择合适的曲线参数化方式。一种自然的想法是利用x2+y2=ax(xa2)2+y2=(a2)2,故可取(16)x=a2(1+cosθ)=acos2θ2, y=a2sinθ, z=a2ax=a|sinθ2|,θ[0,2π] 计算可得(17)I=L+z2dy=02πa2sin2θ2a2cosθdθ=π4a3

另一种想法是利用球坐标,即(18){x=asinθcosφy=asinθsinφz=acosθ,x2+y2=axsinθ=cosφ,π2φπ2 因此曲线可参数化为(19){x=acos2φy=acosφsinφz=a|sinφ|,π2φπ2 其余计算过程与前述相同。

例 8.3.5 (例4) C:|x|+|y|=2为正向闭曲线,计算:(20)Caxdybydx|x|+|y|

原积分可化为(21)I:=Caxdybydx|x|+|y|=12C(axdybydx) 分四段进行积分可得(22)I=1220[axd(2x)b(2x)dx]+1202[axd(2+x)b(2+x)dx]+1220[axd(2x)b(2x)dx]+1202[axd(2+x)b(2+x)dx]=(a+b)+(a+b)+(a+b)+(a+b)=4(a+b)

例 8.3.6 (例5,star) (23)I=γ[(y2z2)dx+(z2x2)dy+(x2y2)dz] 其中γ是球面片x2+y2+z2=1,(x,y,z0)的边界曲线,绕向量(1,1,1)T按右手定则旋转。

利用Stokes公式并不是一个好的做法,因为3段积分曲线分别在3个坐标平面上,直接计算并不麻烦。利用x,y,z的轮换对称性可得(24)γx(z2dyy2dz)=γy(x2dzz2dx)=γz(y2dxx2dy) 其中γx,γy,γz分别为γ在坐标平面x=0,y=0,z=0的部分。对于γz:θ(cosθ,sinθ),0θπ2,计算可得(25)I3=0π/2(sin2θdcosθcos2θdsinθ)=43I=4

例 8.3.7 (例6) fC1([1,4])f(1)=f(4)γxy直角坐标平面的第一象限中由直线y=xy=4x和曲线xy=1xy=4在所围成的平面有界区域D的正向边界(图8.3.3),计算(26)γf(xy)ydy

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图 8.3.3: 例6示意图

边界曲线γ1:x=y, 1y2(27)γ1f(xy)ydy=12f(y2)ydy 边界曲线γ2:x=4y, 2y4(28)γ2f(xy)ydy=24f(4)ydy=f(4)ln42=f(1)ln2 边界曲线γ3:x=y4, y:42(29)γ3f(xy)ydy=42f(y24)ydy=24f(y24)ydy=u=y/212f(u2)udu 边界曲线γ4:x=1y, y:21(30)γ4f(xy)ydy=21f(1)ydy=f(1)ln2 所以(31)Df(xy)ydy=0 这个证明只需要f连续。

例 8.3.8 (例9) f(x)是正值连续函数,D为圆心在原点的单位圆,DD的正向边界,证明:

(1)

Dxf(y)dyyf(x)dx=Dyf(x)dx+xf(y)dy

(2)

Dxf(y)dyyf(x)dx2π

(1) 在第二型曲线曲面积分中,换元(x,y)(y,x)的行列式为1,这导致曲线、曲面定向发生改变,所以(32)D[xf(y)dyyf(x)dx]=D[yf(x)dxxf(y)dy]=D[yf(x)dxxf(y)dy]=D[yf(x)dx+xf(y)dy]

(2) 由(1)的证明知(33)D[xf(y)dyyf(x)dx]=12D[f(x)+f(y)+1f(x)+1f(y)]dxdy12D4f(x)f(y)1f(x)1f(y)4dxdy=2π

例 8.3.9 (例10,star) 设在上半平面D={(x,y)y>0}内,函数f:R2R2具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t2f(x,y)。证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有(34)I=L[yf(x,y)dxxf(x,y)dy]=0

证明 不妨设L为自然正向,记L围成的区域为Ω。由于L在上半平面内,故有(35)f(x,y)=f(xyy,y)=1y2f(xy,1) 因此(36)I=L[1yf(xy,1)dxxy2f(xy,1)dy]=Lf(xy,1)dxyf(,1)的原函数为F,则有(37)I=F(xy)|AB=A=0 这个证明只需f(,1)连续。

8.3.3 *恰当方程与积分因子

我们主要研究以下方程:(38)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 称以上方程为恰当方程,若存在u(x,y),使得(39)ux=P,uy=Qdu=Pdx+Qdy 此时原方程的通解为u(x,y)=C,其中C为任意常数。判定恰当方程只需要验证无旋条件是否成立:(40)Py=Qx

如果原方程不是恰当方程,则可以引入积分因子μ(x,y),使得(41)μPdx+μQdy=0 为恰当方程。此时,μ应满足(42)(μP)y=(μQ)x 通常情况下,求解以上关于μ的方程并不会比求解原方程更简单,但是有时候可以通过观察得到μ的形式(如只与x有关等),因为我们只需要μ的一个特解

例 8.3.10 求以下微分方程的通解:(43)(cosx+1y)dx+(1yxy2)dy=0

注意到:(44)cosxdx+dyy+ydxxdyy2=d(sinx+lny+xy)=0 因此通解为sinx+lny+xy=C

例 8.3.11 求以下微分方程的通解:(45)(ycosxxsinx)dx+(ysinx+xcosx)dy=0

原方程不恰当,故需要引入积分因子μ,其满足:(46)(μ(ycosxxsinx))y=(μ(ysinx+xcosx))x 亦即(47)μy(ycosxxsinx)=μ(ycosxxsinx)+μx(ysinx+xcosx)μx=0,即可解得μ=ey,此时有(48) ey(ycosxxsinx)dx+ey(ysinx+xcosx)dy=d(eyxcosx+yeysinxeysinx)=0 因此通解为eyxcosx+yeysinxeysinx=C