习题课讲解

3.3 习题课讲解

例 3.3.1 设 $F : R^{3} \to R$ 可微，满足 $\begin{matrix} (1) & \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \neq 0 \end{matrix}$ 证明：对任意 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，存在它的一个邻域，方程 $\begin{matrix} (2) & F (x, y, z) = F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \end{matrix}$ 唯一确定了三个可微函数 $x = x (y, z), y = y (x, z), z = z (x, y)$ ，且满足 $\begin{matrix} (3) & {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} {(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} = - 1 \end{matrix}$

证明由于 $F$ 可微且 $\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \neq 0$ ，由隐函数定理知方程 $F (x, y, z) = F (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 唯一确定了三个可微函数 $x = x (y, z), y = y (x, z), z = z (x, y)$ ，且满足 $\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} & = - {(\frac{\partial F}{\partial x})}^{- 1} (\frac{\partial F}{\partial y}) \\ {(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} & = - {(\frac{\partial F}{\partial y})}^{- 1} (\frac{\partial F}{\partial z}) \\ {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} & = - {(\frac{\partial F}{\partial z})}^{- 1} (\frac{\partial F}{\partial x}) \end{aligned} \end{matrix}$ 因此 $\begin{matrix} (5) & {(\frac{\partial x}{\partial y})}_{z} {(\frac{\partial y}{\partial z})}_{x} {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y} = - 1 \end{matrix}$ $◻$

例 3.3.2 （例2）设 $A$ 是 $m$ 阶正交矩阵，函数 $f : R^{m} \to R \in C^{2}$ 、 $F (x) = f (A x)$ 。令 $y = A x$ ，证明： $\begin{matrix} (6) & \sum_{k = 1}^{m} {(\frac{\partial F}{\partial x_{k}})}^{2} = \sum_{k = 1}^{m} {(\frac{\partial f}{\partial y_{k}})}^{2}, \sum_{k = 1}^{m} \frac{\partial^{2} F}{\partial x_{k}^{2}} = \sum_{k = 1}^{m} \frac{\partial^{2} f}{\partial y_{k}^{2}} \end{matrix}$

证明 (1) 可直接通过全微分算子的协变变换证明： $\begin{matrix} (7) & \frac{\partial}{\partial x_{k}} \frac{\partial}{\partial x_{k}} = \frac{\partial}{\partial y_{i}} A_{i k} \frac{\partial}{\partial y_{j}} A_{j k} = \frac{\partial}{\partial y_{i}} (A A^{T})_{i j} \frac{\partial}{\partial y_{j}} = \frac{\partial}{\partial y_{i}} δ_{i j} \frac{\partial}{\partial y_{j}} = \frac{\partial}{\partial y_{i}} \frac{\partial}{\partial y_{i}} \end{matrix}$

(2) 可借助Hessian矩阵⁴证明⁵： $\begin{matrix} (8) & H_{F} (x) = \partial_{x} (\nabla_{x} F) (x) = A^{- 1} \partial_{y} (\nabla_{y} f) (y) A = A^{- 1} H_{f} (y) A \end{matrix}$ 故 $\begin{matrix} (9) & \sum_{k = 1}^{m} \frac{\partial^{2} F}{\partial x_{k}^{2}} = tr H_{F} (x) = tr H_{f} (y) = \sum_{k = 1}^{m} \frac{\partial^{2} f}{\partial y_{k}^{2}} \end{matrix}$ $◻$

例 3.3.3 （例3）设 $x = x (u, v), y = y (u, v)$ 满足 $\begin{matrix} (10) & \frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial x}{\partial v} = - \frac{\partial y}{\partial u} \end{matrix}$ 证明：

(1): 若 $w$ 满足 $\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}} = 0$ ，则 $\tilde{w} (u, v) := w (x (u, v), y (u, v))$ 满足 $\frac{\partial^{2} \tilde{w}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} \tilde{w}}{\partial v^{2}} = 0$ 。
(2): $\frac{\partial^{2} (x y)}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} (x y)}{\partial v^{2}} = 0$ 。

证明可微函数 $z (u, v) = x (u, v) + i y (u, v)$ 在单连通域 $C$ 上满足Cauchy-Riemann方程，从而解析。

(1) $w$ 在单连通域 $R^{2}$ 上调和，故存在解析函数 $f$ 使得 $w (x, y) = ℜ f (x + i y)$ ，因此 $f \circ z$ 亦为解析函数，从而 $\tilde{w} (u, v) = ℜ f (z (u + i v))$ 调和。

(2) 由(1)知 $\tilde{w} = x y$ 调和。 $◻$

例 3.3.4 设 $f : R^{2} \to R$ 调和，令 $u (x, y) = f (\frac{x}{x^{2} + y^{2}}, \frac{y}{x^{2} + y^{2}})$ 。证明： $u$ 调和。

证明令 $ξ (x . y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$ 、 $η (x, y) = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ ，其满足CR方程，由上例可知 $\tilde{u} = f (ξ, η)$ 调和。由于 $(ξ, η) \mapsto (ξ, - η)$ 是正交变换，故 $u$ 调和。 $◻$

注有关以上两题的更多信息，大家可以参考王兆臻学长的习题课笔记⁶。

例 3.3.5 （例9拓展）设区域 $D \subseteq R^{n}$ ， $u, f, φ \in C (\overset{―}{D})$ 、 $u \in C^{2} (D)$ 、 $c \in R$ ，证明：以下边值问题的解唯一。 $\begin{matrix} (11) & {\begin{cases} Δ u = c u + f, & r \in D \\ u = φ, & r \in \partial D \end{cases} \end{matrix}$

证明设 $u_{1}, u_{2}$ 均满足该方程和边界条件，令 $u = u_{1} - u_{2}$ ，则 $u$ 满足 $\begin{matrix} (12) & {\begin{cases} Δ u = c u, & r \in D \\ u = 0, & r \in \partial D \end{cases} \end{matrix}$

当 $c \neq 0$ 时，令 $v = \frac{u}{c}$ ，则 $v$ 满足 $\begin{matrix} (13) & {\begin{cases} Δ v = v, & r \in D \\ v = 0, & r \in \partial D \end{cases} \end{matrix}$ $v$ 在有界闭集 $\overset{―}{D}$ 上存在最小值点 $x_{0}$ ，显然 $v (x_{0}) < 0$ 。若 $v (x_{0}) < 0$ ，则有 $x_{0} \notin \partial D$ ，故 $x_{0}$ 为极小值点，从而 $Δ v (x_{0}) = tr H_{v} (x_{0}) \geq 0 > v (x_{0})$ ，矛盾！故 $v (x) \geq 0$ 对任意 $x \in \overset{―}{D}$ 成立。同理可得 $v (x) \leq 0$ ，故 $v \equiv 0$ ，即 $u_{1} \equiv u_{2}$ 。

当 $c = 0$ 时，注意到 $\begin{matrix} (14) & \int_{D} ∥ \nabla u ∥^{2} d V = \int_{D} [\nabla \cdot (u \nabla u) - \nabla^{2} u] d V = \oint_{\partial D} u \nabla u \cdot n d S - \int_{D} \nabla^{2} u d V = 0 \end{matrix}$ 由 $u \in C (\overset{―}{D})$ 可得 $u \equiv 0$ ，即 $u_{1} \equiv u_{2}$ 。

综上所述，原边值问题具有唯一解。 $◻$

⁴如前所述， $tr H_{f} = g_{i k} \partial_{i} (g^{k j} \partial_{j} f)$ ，其等于 $\partial_{i} \partial_{i}$ 当且仅当 $G$ 为单位矩阵。不要想当然地认为此式成立。

⁵坐标变换 $y \mapsto x$ 是逆变，协变变换矩阵为 $A$ ； $\nabla$ 是逆变算子，变换矩阵 $A^{- 1}$ 左乘； $\partial$ 是协变算子，变换矩阵 $A$ 右乘。

⁶./figure/laplace_wzz.pdf。