习题课讲解

1.3 习题课讲解

例 1.3.1 （例3）计算 $lim_{(x, y) \to (0, 0)} x y \ln (x^{2} + y^{2})$ 。

解标准做法是极坐标换元：令 $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ，则 $\begin{matrix} (1) & | x y | \ln (x^{2} + y^{2}) \leq r^{2} \ln r^{2} = 2 r^{2} \ln r \to 0, r \to 0 \end{matrix}$ 以上过程对 $θ$ 一致，故 $lim_{(x, y) \to (0, 0)} x y \ln (x^{2} + y^{2}) = 0$ 。 $◻$

注极坐标换元一般多用于求原点和（各种）无穷远处的极限，证明是平凡的，从略。

如何理解这里的“对 $θ$ 一致”？类比一致连续，我们有：

不一致： $\forall θ$ ， $\forall ε > 0$ ， $\exists δ (ε, θ) > 0$ ，使得……
一致： $\forall ε > 0$ ， $\exists δ (ε) > 0$ ，使得 $\forall θ$ ，……

为何需要一致性？假如 $δ$ 依赖于 $θ$ ，能否选择某个趋近路线 $γ$ ，使得 $inf_{(ρ, θ) \in γ} δ (ε, θ) = 0$ ？例如： $\begin{matrix} (2) & lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{4}} = lim_{ρ \to 0} \frac{ρ \sin^{2} θ \cos θ}{\cos^{2} θ + ρ^{2} \sin^{4} θ} \end{matrix}$

当 $θ = 0, \pm \frac{π}{2}, π$ 时，原函数始终为 $0$ ， $δ$ 可任意选取；

当 $θ$ 不为以上值时，为使函数值（的绝对值）能被 $ε$ 控制，须有 $\begin{matrix} (3) & \frac{ρ \sin^{2} θ | \cos θ |}{\cos^{2} θ + ρ^{2} \sin^{4} θ} < \frac{ρ \sin^{2} θ}{| \cos θ |} \leq ε \Rightarrow δ (ε, θ) = \frac{ε | \cos θ |}{\sin^{2} θ} \end{matrix}$ 遗憾的是 $\begin{matrix} (4) & inf_{θ \in (- π, π) ∖ {0, \pm \frac{π}{2}}} δ (ε, θ) = 0 \end{matrix}$ 所以以上换元不成立。实际上，这个函数在 $(0, 0)$ 处的多重极限不存在。

然而，一致性实际上是一个稍强的条件（即充分条件），因为它不论 $θ$ 以何种方式趋近都要求收敛，实际上在有些场景下 $θ$ 的趋近方式是存在约束的（虽然可能很难写出来）。例如： $\begin{matrix} (5) & lim_{\begin{matrix} x \to + \infty \\ y \to + \infty \end{matrix}} \frac{1}{x} = 0, lim_{ρ \to + \infty} \frac{1}{ρ \cos θ} = ? \end{matrix}$ 上例中 $θ$ 不能过多靠近 $0$ 和 $\frac{π}{2}$ ，此时一致性是不必要的。

例 1.3.2 （例7注）函数 $f (x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 的某去心邻域内有定义，若

存在 $x_{0}$ 的去心邻域 $U = U (x_{0}, r)$ ，使得 $\forall x \in U$ ， $g (x) := lim_{y \to y_{0}} f (x, y)$ 存在；
$h (y) := lim_{x \to x_{0}} f (x, y)$ 在关于 $y_{0}$ 的某个去心邻域 $U (y_{0}, η)$ 上一致成立。

则极限 $lim_{x \to x_{0}} g (x)$ 和 $lim_{y \to y_{0}} h (y)$ 存在且相等，即 $lim_{x \to x_{0}} lim_{y \to y_{0}} f (x, y) = lim_{y \to y_{0}} lim_{x \to x_{0}} f (x, y)$ 。

证明参见讲义。 $◻$

注

(1): 上述条件是否蕴涵重极限 $lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} f (x, y)$ 存在？答案是否定的，反例为 $f (x, y) = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ 。限制 $(x, y) \in (- 1, 1)^{2}$ ，注意到 $\forall ε > 0$ ， $\exists δ = ε > 0$ ，使得 $\begin{matrix} (6) & | \frac{x_{0} y}{x_{0}^{2} + y^{2}} | \leq \frac{δ}{| x_{0} |} < δ = ε \end{matrix}$
(2): 如果 $f$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 的一个矩形邻域内连续，则是否有 $lim_{x \to x_{0}} g (x) = lim_{y \to y_{0}} h (y) = f (x_{0}, y_{0})$ ？显然，证明如下：取该矩形邻域的闭子集，则 $f$ 在有界闭集上一致连续，故 $g (x), h (y)$ 存在且 $g (x_{0}) = h (y_{0}) = f (x_{0}, y_{0})$ 。由例题可知 $lim_{x \to x_{0}} g (x) = lim_{y \to y_{0}} h (y) = f (x_{0}, y_{0})$ 。

例 1.3.3 （例10）设一元函数 $f$ 在 $R$ 上连续可微，定义 $g (x, y) := \frac{f (x) - f (y)}{x - y}, (x \neq y)$ ，求 $lim_{(x, y) \to (t, t)} g (x, y)$ 。

解参见讲义。 $◻$

注如果 $f^{'}$ 不连续，结论对吗？答案是否定的，反例为 $f (x) = x^{2} \sin \frac{1}{x}$ （补充定义 $f (0) = 0$ ），此时 $g (x, 0) = x \sin \frac{1}{x} \to 0$ ，设 $k \in N^{+}$ ，则 $\begin{matrix} (7) & g (\frac{1}{(2 k + \frac{1}{2}) π}, \frac{1}{(2 k - \frac{1}{2}) π}) = \frac{\frac{1}{(2 k + \frac{1}{2})^{2} π^{2}} + \frac{1}{(2 k - \frac{1}{2})^{2} π^{2}}}{\frac{1}{(2 k + \frac{1}{2}) π} - \frac{1}{(2 k - \frac{1}{2}) π}} = \frac{2 + 32 k^{2}}{(1 - 16 k^{2}) π} \to - \frac{2}{π}, k \to + \infty \end{matrix}$

例 1.3.4 （例13）设 $f (x, y) = {\begin{cases} \frac{\ln (1 + x y)}{x}, & x \neq 0 \\ y, & x = 0 \end{cases}$ ，讨论其在定义域中的连续性。

解当 $x_{0} \neq 0$ 时， $f$ 为基本初等函数的复合，在 $(x_{0}, y_{0})$ 处连续。

当 $x_{0} = 0, y_{0} \neq 0$ 时， $lim_{(x, y) \to (0, y_{0})} f (x, y) = lim_{(x, y) \to (0, y_{0})} \frac{\ln (1 + x y)}{x y} y = y_{0} = f (0, y_{0})$ ，所以 $f$ 在 $(0, y_{0})$ 处连续。

当 $x_{0} = y_{0} = 0$ 时，注意到 $| f (x, y) | \leq | y |$ 恒成立，故 $lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) = 0 = f (0, 0)$ ，所以 $f$ 在 $(0, 0)$ 处连续。

综上， $f$ 是 $R^{2}$ 上的连续函数。 $◻$