习题课讲解

9.3 习题课讲解

例 9.3.1 设 $Σ$ 为正则参数曲面， $φ : R^{3} \to R^{3}$ 是微分同胚（记 $φ, φ^{- 1}$ 都可微）且 $J φ$ 始终为正交矩阵。记 $Σ^{'} = φ (Σ)$ ， $X = (x, y, z)^{T}$ ， $U = (u, v, w)^{T}$ ，则对任何 $Σ$ 上的连续函数 $g (X)$ ，证明： $\begin{matrix} (1) & \int_{Σ} g (X) d σ = \int_{Σ^{'}} g (φ^{- 1} (U)) d σ^{'} \end{matrix}$

证明设 $Σ$ 有正则参数表示 $\begin{matrix} (2) & X (s, t) = (\begin{matrix} x (s, t) \\ y (s, t) \\ z (s, t) \end{matrix}), (s, t) \in D \end{matrix}$ 其中 $D \subseteq R^{2}$ 为平面有界闭区域。由此得到曲面 $Σ^{'} = φ (Σ)$ 的一个参数表示 $\begin{matrix} (3) & U (s, t) = φ (X (s, t)) \end{matrix}$ 于是 $\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} d σ^{'} & = \sqrt{det [{(\frac{\partial (u, v, w)}{\partial (s, t)})}^{T} (\frac{\partial (u, v, w)}{\partial (s, t)})]} d s d t \\ = \sqrt{det [{(\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (s, t)})}^{T} {(\frac{\partial (u, v, w)}{\partial (x, y, z)})}^{T} (\frac{\partial (u, v, w)}{\partial (x, y, z)}) (\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (s, t)})]} d s d t \\ = \sqrt{det [{(\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (s, t)})}^{T} (\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (s, t)})]} d s d t = d σ \end{aligned} \end{matrix}$ 故有 $\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \int_{Σ} g (X) d σ & = \int_{D} g (X (s, t)) \sqrt{det [{(\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (s, t)})}^{T} (\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (s, t)})]} d s d t \\ = \int_{D} g (φ^{- 1} (U (s, t))) \sqrt{det [{(\frac{\partial (u, v, w)}{\partial (s, t)})}^{T} (\frac{\partial (u, v, w)}{\partial (s, t)})]} d s d t \\ = \int_{Σ^{'}} g (φ^{- 1} (U)) d σ^{'} \end{aligned} \end{matrix}$ $◻$

例 9.3.2 （第十三届全国大学生数学竞赛初赛）对于4次齐次函数 $\begin{matrix} (6) & f (x, y, z) = a_{1} x^{4} + a_{2} y^{4} + a_{3} z^{4} + 3 a_{4} x^{2} y^{2} + 3 a_{5} y^{2} z^{2} + 3 a_{6} z^{2} x^{2} \end{matrix}$ 计算曲面积分 $\oint_{Σ} f (x, y, z) d S$ ，其中 $Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 。

解方法一：利用轮换对称性、直接代入球坐标计算，只需要计算两个积分，过程略。

方法二：因为 $f$ 为4次齐次函数，所以 $\forall t \in R$ ，恒有 $\begin{matrix} (7) & f (t x, t y, t z) = t^{4} f (x, y, z) \end{matrix}$ 对上式两边关于 $t$ 求导，可得 $\begin{matrix} (8) & x f_{1} (t x, t y, t z) + y f_{2} (t x, t y, t z) + z f_{3} (t x, t y, t z) = 4 t^{3} f (x, y, z) \end{matrix}$ 取 $t = 1$ ，得 $\begin{matrix} (9) & x f_{x} + y f_{y} + z f_{z} = 4 f \end{matrix}$

曲面 $Σ$ 上点 $(x, y, z)$ 处的外法向量 $n = (x, y, z)$ ，故有 $\begin{matrix} (10) & \oint_{Σ} f d S = \frac{1}{4} \oint_{Σ^{+}} ⟨ \nabla f, n ⟩ d S \end{matrix}$ 记 $Ω : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ ，则 $Σ = \partial Ω$ ，由Gauss定理可得 $\begin{matrix} (11) & \oint_{Σ^{+}} ⟨ \nabla f, n ⟩ d S = 6 \int_{Ω} [x^{2} (2 a_{1} + a_{4} + a_{6}) + y^{2} (2 a_{2} + a_{4} + a_{5}) + z^{2} (2 a_{3} + a_{5} + a_{6})] d V \end{matrix}$ 利用轮换对称性可得 $\begin{matrix} (12) & \oint_{Σ} f d S = \sum_{i = 1}^{6} a_{i} \int_{Ω} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d V = \sum_{i = 1}^{6} a_{i} \int_{0}^{1} ρ^{2} \cdot 4 π ρ^{2} d ρ = \frac{4 π}{5} \sum_{i = 1}^{6} a_{i} \end{matrix}$ $◻$

例 9.3.3 （静电场的唯一性定理）设 $Ω \subseteq R^{3}$ 为有界闭区域，电势 $φ : Ω \to R$ 满足Poisson方程 $Δ φ = f$ 。证明：在以下三种边界条件之一成立时，方程的解 $φ$ 至多相差一个常数。

Dirichlet边界条件： $φ |_{\partial Ω} = g$ （已知）。
Neumann边界条件： ${\frac{\partial φ}{\partial n} |}_{\partial Ω} = h$ （已知）。
导体边界条件： $φ |_{\partial Ω} = const$ （未知），且 $\oint_{\partial Ω} \frac{\partial φ}{\partial n} d S = F$ （已知）。

证明设 $φ_{1}, φ_{2}$ 均满足原Poisson方程和对应的边界条件，令 $φ = φ_{1} - φ_{2}$ ，则 $φ$ 满足Laplace方程 $Δ φ = 0$ 和对应的其次边界条件：

Dirichlet边界条件： $φ |_{\partial Ω} = 0$ 。
Neumann边界条件： ${\frac{\partial φ}{\partial n} |}_{\partial Ω} = 0$ 。
导体边界条件： $φ |_{\partial Ω} = φ_{0}$ （未知），且 $\oint_{\partial Ω} \frac{\partial φ}{\partial n} d S = 0$ 。

注意到 $\begin{matrix} (13) & \int_{Ω} ∥ \nabla φ ∥^{2} d V = \int_{Ω} [\nabla \cdot (φ \nabla φ) - φ Δ φ] d V = \int_{\partial Ω} φ \frac{\partial φ}{\partial n} d S \end{matrix}$ 在以上三种边界条件下，都有 $\int_{Ω} ∥ \nabla φ ∥^{2} d V = 0$ ，故 $\nabla φ = 0$ ，即 $φ$ 为常数。 $◻$