6.2 知识点复习
6.2.1 含参定积分
- (1)
-
连续性:设
,函数 满足 , ; 在 处关于 连续,且对 一致,即 , 使得 、 , 。
则
在 处关于 连续。 - (2)
-
连续性的推论1:设
为开集(闭集), 关于 连续,则 关于 连续。 - (3)
-
连续性的推论2:若
满足 都有 1且 都有 有界,则 关于 连续。 - (4)
-
偏导数:若
满足 都有 关于 连续,则 且满足 - (5)
-
高阶偏导数:设
关于 的所有 阶偏导数都关于 连续,则 ,且 - (6)
-
积分换序:设
连续,则 满足
- (1)
-
判断
的连续性并计算。 - (2)
-
计算
。 - (3)
-
利用变分法证明:两点之间,线段最短。
6.2.2 含参广义积分
含参广义积分包括无穷区间上的含参积分和含参瑕积分,后者可以转换为前者,因此我们只需要讨论无穷区间上的含参积分。
- (1)
-
含参广义积分:
,其中 为参数。 - (2)
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逐点收敛:称
关于 逐点收敛,若 , 使得 , 使得 ,都有 - (3)
-
一致收敛:称
关于 一致收敛,若 , 使得 , , 使得 亦即逐点收敛中的 与 无关。
- (1)
-
连续性:设
,函数 满足 关于 一致收敛; , 关于 在 处连续,且连续性对 在任意有界闭区间 上一致成立,即 , 使得 , ,都有
则
在 处连续。 - (2)
-
可微性:设
, 为开集,函数 满足 收敛; , 关于 连续,且 关于 一致收敛。
则存在
的邻域 ,使得 在 上关于 一致收敛且 ;并且 ,广义积分与偏导数可交换,即 - (3)
-
可积性:设函数
连续, 关于 一致收敛,则 收敛,并且 - (4)
-
广义可积性:设函数
连续, 和 均(关于另一个变量)一致收敛,则对于以下等式 若等式一侧收敛,则另一侧也收敛,且两侧相等。
应用
积分变换:
6.2.3 一致收敛的判定
- (1)
-
一致Cauchy:
关于 一致收敛当且仅当 , 使得 , ,都有 - (2)
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Weierstrass强函数:设
对所有 、 成立,若 收敛,则 关于 一致收敛。 - (3)
-
乘积函数的判别法:对于
,设 关于 单调递减对 成立,若其满足以下两个条件之一:- Dirichlet判别法:
对所有 和 一致有界; 对 一致成立。 - Abel判别法:
对 一致收敛; 有界对 一致成立。
则
关于 一致收敛。 - Dirichlet判别法:
- (1)
-
Gamma函数:
- (2)
-
Beta函数:
两者的关系: - (3)
-
借助Dirichlet核计算Dirichlet积分:
1在讨论涉及含参定积分的问题时,这个条件总是必要的,故在后面的命题中我们省略叙述此条件。