6.2 知识点复习

6.2.1 含参定积分

重要概念回顾 含参积分:F(y):=abf(x,y)dx,其中y为参数。

重要定理回顾

(1)

连续性:设y0URn,函数f:[a,b]×UR满足

  • yUf(,y)C([a,b])
  • f(x,y)y0处关于y连续,且对x一致,即ε>0δ(ε)>0使得x[a,b]yUyy0<δ(ε)|f(x,y)f(x,y0)|<ε

abf(x,y)dxy0处关于y连续。

(2)

连续性的推论1:设URn为开集(闭集),f:[a,b]×UR关于(x,y)连续,则abf(x,y)dx关于y连续。

(3)

连续性的推论2:若f满足yU都有f(,y)R[a,b]1k都有fyk有界,则abf(x,y)dx关于y连续。

(4)

偏导数:若f满足k都有fyk(x,y)关于(x,y)连续,则FC1且满足(1)ykabf(x,y)dx=Fyk=abfyk(x,y)dx

(5)

高阶偏导数:设f关于y的所有k阶偏导数都关于(x,y)连续,则FCk,且(2)kFyikyi1(y)=abkfyikyi1(x,y)dx

(6)

积分换序:设f:[a,b]×[c,d]R连续,则F(y):=abf(x,y)dx满足(3)cddyabf(x,y)dx=abdxcdf(x,y)dy

应用

(1)

判断01cos(xy)dx的连续性并计算。

(2)

计算01xbxalnxdx

(3)

利用变分法证明:两点之间,线段最短。

6.2.2 含参广义积分

含参广义积分包括无穷区间上的含参积分和含参瑕积分,后者可以转换为前者,因此我们只需要讨论无穷区间上的含参积分。

重要概念回顾

(1)

含参广义积分F(y):=a+f(x,y)dx,其中y为参数。

(2)

逐点收敛:称a+f(x,y)dx关于yU逐点收敛,若yUF(y)R使得ε>0N(ε,y)>a使得A>N(ε,y),都有(4)|aAf(x,y)dxF(y)|<ε

(3)

一致收敛:称a+f(x,y)dx关于yU一致收敛,若ε>0N(ε)>a使得yUA>N(ε)F(y)R使得(5)|aAf(x,y)dxF(y)|<ε 亦即逐点收敛中的N(ε,y)y无关。

重要定理回顾

(1)

连续性:设y0URn,函数f:[a,+)×UR满足

  • F(y):=a+f(x,y)dx关于yU一致收敛;
  • xaf(x,y)关于yUy0处连续,且连续性对x在任意有界闭区间[a,b]上一致成立,即ε>0δ(ε,[a,b])>0使得x[a,b]yU,都有(6)yy0<δ|f(x,y)f(x,y0)|<ε

F(y)y0处连续。

(2)

可微性:设y0URnU为开集,函数f:[a,+)×UR满足

  • a+f(x,y0)dx收敛;
  • 1knfyk(x,y)关于(x,y)连续,且a+fyk(x,y)dx关于yU一致收敛。

则存在y0的邻域VU,使得F(y):=a+f(x,y)dxV上关于y一致收敛且C1;并且1kn,广义积分与偏导数可交换,即(7)yka+f(x,y)dx=a+fyk(x,y)dx

(3)

可积性:设函数f:[c,+)×[a,b]R连续,c+f(x,y)dx关于y[a,b]一致收敛,则c+dxabf(x,y)dy收敛,并且(8)c+dxabf(x,y)dy=abdyc+f(x,y)dx

(4)

广义可积性:设函数f:[c,+)×[a,+)R连续,c+f(x,y)dxa+f(x,y)dy均(关于另一个变量)一致收敛,则对于以下等式(9)c+dxa+f(x,y)dy=a+dyc+f(x,y)dx 若等式一侧收敛,则另一侧也收敛,且两侧相等。

应用 积分变换:(10)g(y)=+K(x,y)f(x)dx 如卷积、Laplace变换等。由此我们引出积分变换法解ODE的基本思路:通过积分变换将微分方程转化为代数方程、解代数方程、通过逆变换得到原方程的解。

fLaplacianFDifferential Equ.Algebraic Equ.fLaplacianf(0)+pF(p)

图 6.2.1: 积分变换法解ODE的Big Picture

6.2.3 一致收敛的判定

重要定理回顾

(1)

一致Cauchy:a+f(x,y)dx关于yU一致收敛当且仅当ε>0N(ε)>a使得yUA>B>N(ε),都有(11)|BAf(x,y)dx|<ε

(2)

Weierstrass强函数:设|f(x,y)|g(x)对所有x[a,+)yU成立,若a+g(x)dx收敛,则a+f(x,y)dx关于yU一致收敛。

(3)

乘积函数的判别法:对于a+f(x,y)g(x,y)dx,设g(x,y)关于x单调递减对yU成立,若其满足以下两个条件之一:

  • Dirichlet判别法:aAf(x,y)dx对所有A>ayU一致有界;limx+g(x,y)=0yU一致成立。
  • Abel判别法:a+f(x,y)dxyU一致收敛;g(x,y)有界对yU一致成立。

a+f(x,y)g(x,y)dx关于yU一致收敛。

应用

(1)

Gamma函数:(12)Γ(s)=0+xs1exdxC,s>0

(2)

Beta函数:(13)B(p,q)=01xp1(1x)q1dxC,p>0,q>0 两者的关系:(14)B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)

(3)

借助Dirichlet核计算Dirichlet积分:(15)g(y)=0+exysinxxdx0+sinxxdx=π2

1在讨论涉及含参定积分的问题时,这个条件总是必要的,故在后面的命题中我们省略叙述此条件。