9.2 知识点复习

9.2.1 一阶微分方程

我们主要研究以下方程：$$\begin{array}{}\text{(1)}& P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0\end{array}$$ 称以上方程为恰当方程，若存在$u(x,y)$，使得$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{\partial u}{\partial x}=P,\frac{\partial u}{\partial y}=Q\iff \mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\end{array}$$ 此时原方程的通解为$u(x,y)=C$，其中$C$为任意常数。判定恰当方程只需要验证无旋条件是否成立：$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\end{array}$$

如果原方程不是恰当方程，则可以引入积分因子$\mu (x,y)$，使得$$\begin{array}{}\text{(4)}& \mu P\mathrm{d}x+\mu Q\mathrm{d}y=0\end{array}$$ 为恰当方程。此时，$\mu$应满足$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{\partial (\mu P)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu Q)}{\partial x}\end{array}$$ 通常情况下，求解以上关于$\mu$的方程并不会比求解原方程更简单，但是有时候可以通过观察得到$\mu$的形式（如只与$x$有关等），因为我们只需要$\mu$的一个特解。

解 注意到：$$\begin{array}{}\text{(7)}& \cos x\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{d}y}{y}+\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{y^2}=\mathrm{d}(\sin x+\ln y+\frac{x}{y})=0\end{array}$$ 因此通解为$\sin x+\ln y+\frac{x}{y}=C$。 $◻$

解 原方程不恰当，故需要引入积分因子$\mu$，其满足：$$\begin{array}{}\text{(9)}& \frac{\partial (\mu (y\cos x-x\sin x))}{\partial y}=\frac{\partial (\mu (y\sin x+x\cos x))}{\partial x}\end{array}$$ 亦即$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\mu }_y(y\cos x-x\sin x)=\mu (y\cos x-x\sin x)+{\mu }_x(y\sin x+x\cos x)\end{array}$$ 令${\mu }_x=0$，即可解得$\mu ={\mathrm{e}}^y$，此时有$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{rl}& {\mathrm{e}}^y(y\cos x-x\sin x)\mathrm{d}x+{\mathrm{e}}^y(y\sin x+x\cos x)\mathrm{d}y\\ & =\mathrm{d}({\mathrm{e}}^{y}x\cos x+y{\mathrm{e}}^y\sin x-{\mathrm{e}}^y\sin x)=0\end{array}\end{array}$$ 因此通解为${\mathrm{e}}^{y}x\cos x+y{\mathrm{e}}^y\sin x-{\mathrm{e}}^y\sin x=C$。 $◻$

9.2.2 第二型曲面积分

第二型曲面积分作用在${\mathbb{R}}^3$中的曲面上：$$\begin{array}{}\text{(12)}& \mathrm{\Sigma }=\left\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\right|\begin{array}{c}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}\}\end{array}$$ 作用的函数是一个向量场$\mathit{F}$，其物理意义是通量，如图9.2.1所示。

重要概念回顾

(1)

可定向曲面：称曲面$\mathrm{\Sigma }$是可定向曲面，若$\mathrm{\Sigma }$的法向量场$\mathit{n}:\mathrm{\Sigma }\to {\mathbb{R}}^3$是连续的。

(2)

第二型曲面积分：设$(\mathrm{\Sigma },\mathit{n})$是可定向曲面，向量场$\mathit{F}:\mathrm{\Sigma }\to {\mathbb{R}}^3$连续，则$\mathit{F}$沿曲面$(\mathrm{\Sigma },\mathit{n})$的第二型曲面积分定义为$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\int }_{\mathrm{\Sigma }}⟨\mathit{F},\mathit{n}⟩\mathrm{d}\sigma \end{array}$$ 注意到$$\begin{array}{}\text{(14)}& \mathit{n}(\mathit{x})\mathrm{d}\sigma =\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathit{x}}{\partial v}\mathrm{d}u\mathrm{d}v=[det\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}\hat{i}+det\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}\hat{j}+det\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\hat{k}]\mathrm{d}u\mathrm{d}v\end{array}$$ 因此$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\int }_{\mathrm{\Sigma }}⟨\mathit{F},\mathit{n}⟩\mathrm{d}\sigma ={\int }_D⟨\mathit{F},\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathit{x}}{\partial v}⟩\mathrm{d}u\mathrm{d}v={\int }_{D}det(\mathit{F},\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u},\frac{\partial \mathit{x}}{\partial v})\mathrm{d}u\mathrm{d}v\end{array}$$ 上式的物理意义如图9.2.2所示，为$\mathit{F},\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u}\mathrm{d}u,\frac{\partial \mathit{x}}{\partial v}\mathrm{d}v$构成的（微元）平行六面体的体积。

(3)

楔积与外微分：在直角坐标系中，定义$$\begin{array}{}\text{(16)}& \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=det\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\end{array}$$ 则有$\mathit{n}=(\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z,\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x,\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y{)}^{\mathrm{T}}$。设$\mathit{F}=(X,Y,Z{)}^{\mathrm{T}}$，则原积分可改写为$$\begin{array}{}\text{(17)}& {\int }_{\mathrm{\Sigma }}⟨\mathit{F},\mathit{n}⟩\mathrm{d}\sigma ={\int }_{\mathrm{\Sigma }}X\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+Y\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+Z\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y={\int }_{\mathrm{\Sigma }}\omega \end{array}$$ 其中$\omega =X\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+Y\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+Z\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$称作二阶微分形式。

楔积的几何意义如图9.2.3所示。如果法向量$\mathit{n}$在$\hat{k}$上的投影与$\hat{i}\times \hat{j}$同向（即$\mathit{n}\cdot (\hat{i}\times \hat{j})>0$），则$\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其余情况同理。

重要定理回顾 第二型曲面积分关于$\mathit{F}$满足线性，关于$\mathrm{\Sigma }$满足可加性。

应用

(1)

球面是可定向的，轮胎面是可定向的，Möbius带是不可定向的。

(2)

设曲面$\mathrm{\Sigma }:z=x^2+y^2(z\le 1)$，法向量$\mathit{n}$的$z$分量指向$-z$方向，计算：${\int }_{\mathrm{\Sigma }}x\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z$。

(3)

设曲面$\mathrm{\Sigma }:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，法向量$\mathit{n}$朝外，证明：${\int }_{\mathrm{\Sigma }}x\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=4\pi abc$。

(4)

设曲面$\mathrm{\Sigma }:z=1-x^2-y^2(z\ge 0)$，法向量$\mathit{n}$的$z$分量指向$+z$方向，计算：${\int }_{\mathrm{\Sigma }}(x^2-z)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y+(z^2-y)\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x$。

注 由于$\mathit{a}\times \mathit{b}=-\mathit{b}\times \mathit{a}$，因此参数$u,v$的顺序不能随意交换。以球面的参数化（球坐标系$\theta ,\varphi$）为例，如果$\mathit{n}$为球面外法向量，则应有$$\begin{array}{}\text{(18)}& \mathit{n}=\frac{\frac{\partial \mathit{x}}{\partial \theta }\times \frac{\partial \mathit{x}}{\partial \varphi }}{\Vert \frac{\partial \mathit{x}}{\partial \theta }\times \frac{\partial \mathit{x}}{\partial \varphi }\Vert }\end{array}$$

9.2.3 向量场的旋度和散度

重要概念回顾

(1)

散度：空间${\mathcal{C}}^1$向量场$\mathit{F}=(X,Y,Z{)}^{\mathrm{T}}$的散度定义为$$\begin{array}{}\text{(19)}& \mathrm{div}\mathit{F}=\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}=\mathrm{tr}\frac{\partial (X,Y,Z)}{\partial (x,y,z)}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{F}\end{array}$$

(2)

旋度：空间${\mathcal{C}}^1$向量场$\mathit{F}=(X,Y,Z{)}^{\mathrm{T}}$的旋度定义为$$\begin{array}{}\text{(20)}& \mathrm{curl}\mathit{F}={(\frac{\partial Z}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial z},\frac{\partial X}{\partial z}-\frac{\partial Z}{\partial x},\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y})}^{\mathrm{T}}=\mathrm{\nabla }\times \mathit{F}\end{array}$$

(3)

楔积与外微分：设$\alpha$为$p$阶微分形式，$\beta ,\gamma$为$q$阶微分形式，则楔积和外微分的运算法则为：

• $\mathrm{d}{x}^i\wedge \mathrm{d}{x}^i=0$，$\mathrm{d}{x}^i\wedge \mathrm{d}{x}^j=-\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^i$。
• $\mathrm{d}(\beta +\gamma )=\mathrm{d}\beta +\mathrm{d}\gamma$。
• $\mathrm{d}(\alpha \wedge \beta )=\mathrm{d}\alpha \wedge \beta +(-1{)}^p\alpha \wedge \mathrm{d}\beta$。
• $\mathrm{d}(\mathrm{d}\alpha )=0$。

重要定理回顾

(1)

Gauss公式的物理表述：设$\mathrm{\Omega }\subseteq {\mathbb{R}}^3$为空间闭区域，其边界$\partial \mathrm{\Omega }$分片${\mathcal{C}}^1$且法向为曲面外向，$\mathit{F}:\mathrm{\Omega }\to {\mathbb{R}}^3$为${\mathcal{C}}^1$向量场，则有$$\begin{array}{}\text{(21)}& {\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}⟨\mathit{F},\mathit{n}⟩\mathrm{d}S={\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{div}\mathit{F}\mathrm{d}V={\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{F}\mathrm{d}V\end{array}$$

(2)

Stokes公式的物理表述：设$\mathrm{\Sigma }\subseteq {\mathbb{R}}^3$为可定向曲面，其边界$\partial \mathrm{\Sigma }$为分段${\mathcal{C}}^1$曲线且前向为曲面法向¹，$\mathit{F}:\mathrm{\Sigma }\to {\mathbb{R}}^3$为${\mathcal{C}}^1$向量场，则有$$\begin{array}{}\text{(22)}& {\int }_{\partial \mathrm{\Sigma }}\mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{x}={\int }_{\mathrm{\Sigma }}⟨\mathrm{curl}\mathit{F},\mathit{n}⟩\mathrm{d}\sigma ={\int }_{\mathrm{\Sigma }}(\mathrm{\nabla }\times \mathit{F})\cdot \mathit{n}\mathrm{d}\sigma \end{array}$$

(3)

Gauss公式和Stokes公式的数学表述：${\oint }_{\partial \mathrm{\Omega }}\omega ={\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{d}\omega$，其中$\omega$为一阶或二阶微分形式，称为广义Stokes公式。

(4)

广义Stokes公式涵盖Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式等。

应用

(1)

散度的物理定义：$\mathrm{div}\mathit{F}(P_0):=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}\frac{1}{|B(P_0,\epsilon )|}{\oint }_{\partial B(P_0,\epsilon {)}^{+}}⟨\mathit{F},\mathit{n}⟩\mathrm{d}S$。

(2)

旋度的物理定义：$\mathrm{curl}\mathit{F}(P_0)\cdot \mathit{n}:=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}\frac{1}{|D(P_0,\mathit{n},\epsilon )|}{\oint }_{\partial D(P_0,\mathit{n},\epsilon {)}^{+}}\mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{x}$，其中$D(P_0,\mathit{n},\epsilon )$表示以$P_0$为圆心，$\mathit{n}$为法向量，半径为$\epsilon$的圆盘。

9.2.4 曲线、曲面积分小结

王兆臻学长总结了曲线、曲面积分的所有重要知识点，大家可以参考²。

9.2.5 *曲面坐标系(2)

设$\mathit{r}$为正交曲面坐标系中的一点，$x^i$方向的单位向量为${\mathit{e}}_i$，则$$\begin{array}{}\text{(23)}& h_i=\Vert \frac{\partial \mathit{r}}{\partial x^i}\Vert ,{\mathit{e}}_i=\frac{1}{h_i}\frac{\partial \mathit{r}}{\partial x^i}\end{array}$$ 设$u:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$，则$\mathrm{\nabla }u$可表示为$$\begin{array}{}\text{(24)}& \mathrm{\nabla }u=\sum _i\frac{1}{h_i}\frac{\partial u}{\partial x^i}{\mathit{e}}_i\end{array}$$

散度的物理定义和计算方式如图9.2.4所示。由图可知，通过微元长方体中与$u$垂直的两个表面的通量为$$\begin{array}{}\text{(25)}& {\mathrm{\Phi }}_u=\frac{\partial (F_u{h}_v{h}_w)}{\partial u}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w\end{array}$$ 其余表面同理。由Gauss定理可得$$\begin{array}{}\text{(26)}& \begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_u+{\mathrm{\Phi }}_v+{\mathrm{\Phi }}_w& =(\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{F})h_u{h}_v{h}_w\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w\\ & =\frac{\partial (F_u{h}_v{h}_w)}{\partial u}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w+\frac{\partial (F_v{h}_u{h}_w)}{\partial v}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w+\frac{\partial (F_w{h}_u{h}_v)}{\partial w}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w\end{array}\end{array}$$ 因此$$\begin{array}{}\text{(27)}& \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{F}=\frac{1}{h_u{h}_v{h}_w}[\frac{\partial (F_u{h}_v{h}_w)}{\partial u}+\frac{\partial (h_u{F}_v{h}_w)}{\partial v}+\frac{\partial (h_u{h}_v{F}_w)}{\partial w}]\end{array}$$ 取$\mathit{F}=\mathrm{\nabla }\phi$，可得Laplace算子在正交曲面坐标系中的展开为$$\begin{array}{}\text{(28)}& \mathrm{\Delta }\phi =\frac{1}{h_u{h}_v{h}_w}[\frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{h_v{h}_w}{h_u}\frac{\partial \phi }{\partial u}\right)+\frac{\partial }{\partial v}\left(\frac{h_w{h}_u}{h_v}\frac{\partial \phi }{\partial v}\right)+\frac{\partial }{\partial w}\left(\frac{h_u{h}_v}{h_w}\frac{\partial \phi }{\partial w}\right)]\end{array}$$

旋度的物理定义和计算方式如图9.2.5所示。由图可知，通过与$w$垂直的微元长方形边界的前向环量为$$\begin{array}{}\text{(29)}& {\mathrm{\Gamma }}_w=[\frac{\partial (F_v{h}_v)}{\partial u}-\frac{\partial (F_u{h}_u)}{\partial v}]\mathrm{d}u\mathrm{d}v\end{array}$$ 由Stokes定理可得$$\begin{array}{}\text{(30)}& {\mathrm{\Gamma }}_w=(\mathrm{\nabla }\times \mathit{F})\cdot {\mathit{e}}_w{h}_u{h}_v\mathrm{d}u\mathrm{d}v\Rightarrow (\mathrm{\nabla }\times \mathit{F}{)}_w=\frac{1}{h_u{h}_v}[\frac{\partial (F_v{h}_v)}{\partial u}-\frac{\partial (F_u{h}_u)}{\partial v}]\end{array}$$ 其余方向同理。因此$$\begin{array}{}\text{(31)}& \mathrm{\nabla }\times \mathit{F}=\frac{1}{h_u{h}_v{h}_w}det\left(\begin{array}{ccc}{h}_u{\mathrm{e}}_u& h_v{\mathrm{e}}_v& h_w{\mathrm{e}}_w\\ \frac{\partial }{\partial u}& \frac{\partial }{\partial v}& \frac{\partial }{\partial w}\\ F_u{h}_u& F_v{h}_v& F_w{h}_w\end{array}\right)\end{array}$$

9.2.6 *向量分析

设$\phi ,\psi :{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$，$\mathit{f},\mathit{g}:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$，$\mathrm{\nabla }$算符满足以下运算公式：

• $\mathrm{\nabla }(\phi \psi )=\phi \mathrm{\nabla }\psi +\psi \mathrm{\nabla }\phi$
• $\mathrm{\nabla }\cdot (\phi \mathit{f})=(\mathrm{\nabla }\phi )\cdot \mathit{f}+\phi \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{f}$
• $\mathrm{\nabla }\times (\phi \mathit{f})=(\mathrm{\nabla }\phi )\times \mathit{f}+\phi \mathrm{\nabla }\times \mathit{f}$
• $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathit{f}\times \mathit{g})=(\mathrm{\nabla }\times \mathit{f})\cdot \mathit{g}-\mathit{f}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathit{g})$
• $\mathrm{\nabla }\times (\mathit{f}\times \mathit{g})=(\mathit{g}\cdot \mathrm{\nabla })\mathit{f}+(\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{g})\mathit{f}-(\mathit{f}\cdot \mathrm{\nabla })\mathit{g}-(\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{f})\mathit{g}$
• $\mathrm{\nabla }(\mathit{f}\cdot \mathit{g})=\mathit{f}\times (\mathrm{\nabla }\times \mathit{g})+(\mathit{f}\cdot \mathrm{\nabla })\mathit{g}+\mathit{g}\times (\mathrm{\nabla }\times \mathit{f})+(\mathit{g}\cdot \mathrm{\nabla })\mathit{f}$
• $\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\phi ={\mathrm{\nabla }}^2\phi =\mathrm{\Delta }\phi$
• $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \mathit{f})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{f})-{\mathrm{\nabla }}^2\mathit{f}$

以上公式都可以用直角分量展开直接证明，但只要我们正确地考虑到$\mathrm{\nabla }$算符的特性，就可以把上述公式简单地“写”出来。