9.2 知识点复习
9.2.1 Green公式
重要概念回顾
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(1)
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旋度:平面向量场的旋度定义为。
-
(2)
-
散度:平面向量场的散度定义为。
-
(3)
-
楔积:定义楔积算符为:
- 双线性:。
- 反对称性:。
- 若的边界为自然正向,则。
-
(4)
-
外微分:定义作用在微分形式上的外微分算符为:
重要定理回顾
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(1)
-
Green公式的物理表述:设为平面闭区域,其边界分段且前向为自然正向,为向量场,则有
- 散度形式:。
- 旋度形式:。
-
(2)
-
Green公式的数学表述:,其中为一阶微分形式。
应用
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(1)
-
旋度的物理定义:。旋度为零的场称作无旋场。
-
(2)
-
散度的物理定义:。散度为零的场称作无源场。
-
(3)
-
对于线性向量场,,。
-
(4)
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计算:,其中为上的椭圆弧,从逆时针旋转到,。
注
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(1)
-
借助,则旋度和散度可表示为、。
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(2)
-
注意到,表明散度与坐标系的选取无关。
-
(3)
-
可以验证:
9.2.2 第二型曲面积分
第二型曲面积分作用在中的曲面上:
作用的函数是一个向量场,其物理意义是通量,如图9.2.1所示。
图 9.2.1: 第二型曲面积分的物理意义
重要概念回顾
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(1)
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可定向曲面:称曲面是可定向曲面,若的法向量场是连续的。
-
(2)
-
第二型曲面积分:设是可定向曲面,向量场连续,则沿曲面的第二型曲面积分定义为
注意到
因此
上式的物理意义如图9.2.2所示,为构成的(微元)平行六面体的体积。
-
(3)
-
楔积与外微分:在直角坐标系中,定义
则有。设,则原积分可改写为
其中称作二阶微分形式。
楔积的几何意义如图9.2.3所示。如果法向量在上的投影与同向(即),则,其余情况同理。
图 9.2.2: 第二型曲面积分的物理意义
图 9.2.3: 楔积的几何意义
重要定理回顾
第二型曲面积分关于满足线性,关于满足可加性。
应用
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(1)
-
球面是可定向的,轮胎面是可定向的,Möbius带是不可定向的。
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(2)
-
设曲面,法向量的分量指向方向,计算:。
-
(3)
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设曲面,法向量朝外,证明:。
-
(4)
-
设曲面,法向量的分量指向方向,计算:。
注
由于,因此参数的顺序不能随意交换。以球面的参数化(球坐标系)为例,如果为球面外法向量,则应有
9.2.3 向量场的旋度和散度
重要概念回顾
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(1)
-
散度:空间向量场的散度定义为
-
(2)
-
旋度:空间向量场的旋度定义为
-
(3)
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楔积与外微分:设为阶微分形式,为阶微分形式,则楔积和外微分的运算法则为:
- ,。
- 。
- 。
- 。
重要定理回顾
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(1)
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Gauss公式的物理表述:设为空间闭区域,其边界分片且法向为曲面外向,为向量场,则有
-
(2)
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Stokes公式的物理表述:设为可定向曲面,其边界为分段曲线且前向为曲面法向,为向量场,则有
-
(3)
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Gauss公式和Stokes公式的数学表述:,其中为一阶或二阶微分形式,称为广义Stokes公式。
-
(4)
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广义Stokes公式涵盖Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式等。
应用
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(1)
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散度的物理定义:。
-
(2)
-
旋度的物理定义:,其中表示以为圆心,为法向量,半径为的圆盘。
9.2.4 曲线、曲面积分小结
王兆臻学长总结了曲线、曲面积分的所有重要知识点,大家可以参考。
9.2.5 *曲面坐标系(2)
设为正交曲面坐标系中的一点,方向的单位向量为,则
设,则可表示为
散度的物理定义和计算方式如图9.2.4所示。由图可知,通过微元长方体中与垂直的两个表面的通量为
其余表面同理。由Gauss定理可得
因此
取,可得Laplace算子在正交曲面坐标系中的展开为
图 9.2.4: 散度的物理定义和计算方式
旋度的物理定义和计算方式如图9.2.5所示。由图可知,通过与垂直的微元长方形边界的前向环量为
由Stokes定理可得
其余方向同理。因此
图 9.2.5: 旋度的物理定义和计算方式
9.2.6 *向量分析
设,,算符满足以下运算公式:
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以上公式都可以用直角分量展开直接证明,但只要我们正确地考虑到算符的特性,就可以把上述公式简单地“写”出来。