4.1 第3次作业评讲

4.1.1 概念和计算部分

例 4.1.1 判断题:

(1)

(orange-circle71%)累次极限limxalimybf(x,y)就是沿从(x,y)(x,b)(a,b)的折线趋于(a,b)f(x,y)的极限。

(2)

(green-circle97%)偏导数2fxy2fyx总是相等的。

(1) 错。沿从(x,y)(x,b)(a,b)的折线趋于(a,b)f(x,y)的极限,实际上就是limxaf(x,b),只取一次极限;累次极限limxalimybf(x,y)是两次极限,第一次极限是沿(x,y)(x,b)取极限limybf(x,y)=g(x),然后再对一元函数g(x)取极限limxag(x)

(2) 错。混合偏导数未必总是相等的;但当这两个偏导函数都连续时,它们是相等的。

例 4.1.2 单项选择题:

(3)

(green-circle90%)可微函数沿它的梯度方向

(A)

增长最快

(B)

减少最快

(C)

不变

(D)

视具体情况而定

(3) A。对梯度f(P0)的单位向量v,以及任意单位向量u,都有(1)f(P0)v=f(P0)=f(P0)uf(P0)u=fu(P0)

例 4.1.3 填空题:

(4)

(yellow-circle86%)函数f(x,y)=x2y3在点(1,1)处的全微分为df(1,1)= ____。

(5)

(orange-circle78%)已知z=v+uf(v)v=yxu=xyf是二阶可微的一元函数,满足f(1)=1f(1)=2f(1)=3,则z=z(x,y)的偏导数zxy(1,1)= ____。

(6)

(red-circle58%)设z=f(u,x,y),其中u=xeyf是二阶连续可微函数。记fk表示三元函数f对第k个自变量的一阶偏导数,fi,j表示三元函数f对第i个自变量和第j个自变量的二阶偏导数。若二元函数z=z(x,y)在点(2,0)处的偏导数(2)zx(2,0)=Af1+Bf2+Cf32zxy(2,0)=Df1,1+Ef2,2+Ff3,3+Gf1,2+Hf1,3+Kf2,3+Lf1+Mf2+Nf3 (A,B,C)= ____,(D,E,F,G,H,K,L,M,N)= ____。

(7)

(yellow-circle85%)映射(3)(uv)=(lnx2+y2arctanyx) 在点(35,45)处的Jacobi矩阵的行列式等于____。

(8)

(yellow-circle84%)球坐标变换(4)x=rsinθcosϕ,y=rsinθsinϕ,z=rcosθ (r,θ,ϕ)=(2,π6,π4)处的Jacobi行列式的值为____。

(9)

(yellow-circle81%)已知函数f在点(2,3)处的梯度为(3,4)T,则f在点(2,3)处沿向量v=(1,1)T的方向的方向导数为____。

(4) df=2xy3dx+3x2y2dydf(1,1)=2dx+3dy

(5) 由题知z(x,y)=yx+xyf(yx),计算可得(5)zxy=1x2f(yx)+xyf(yx)+y2f(yx)x2zxy(1,1)=5

(6) 由题知z=f(u,x,y),其中u=ey,计算可得(6)zx=f1(xey)x+f2=eyf1+f22zxy=[f1,1(xey)y+f1,3]ey+f1ey+[f2,1(xey)y+f2,3]=xeyf1,1+xeyf1,2+eyf1,3+f2,3+eyf1(A,B,C)=(1,1,0)(D,E,F,G,H,K,L,M,N)=(2,0,0,2,1,1,1,0,0)

(7) 计算可得Jacobi矩阵为(7)J=(xx2+y2yx2+y2yx2+y2xx2+y2)detJ=1x2+y2detJ=1

(8) 计算可得Jacobi矩阵为(8)J=(sinθcosϕrcosθcosϕrsinθsinϕsinθsinϕrcosθsinϕrsinθcosϕcosθrsinθ0)detJ=r2sinθdetJ=2

(9) 归一化v得到u=vv=(22,22)T。由梯度和方向导数的关系可得(9)fu(2,3)=f(2,3)u=(34)(2222)=22

4.1.2 解答和证明部分

例 4.1.4 (解答题1,keycap-1keycap-0green-circle94%) f:R2RC2函数,满足2fu2+2fv2=0。证明:g(x,y)=f(xx2+y2,yx2+y2)也满足Laplace方程。

(u,v)=(xx2+y2,yx2+y2),计算可得(10)ux=vy=v2u2,uy=vx=2uv 所以keycap-4(11)ux2+uy2=vx2+vy2,uxvx+uyvy=0,Δu=Δv=0 进一步计算可得keycap-4(12)gx=fuux+fvvx2gx2=2fu2ux2+22fuvuxvx+2fv2vx2+fuuxx+fvvxx2gy2=2fu2uy2+22fuvuyvy+2fv2vy2+fuuyy+fvvyy 故有keycap-2(13)Δg=(2fu2+2fv2)(ux2+uy2)+22fuv(uxvx+uyvy)+fuΔu+fvΔv=0g满足Laplace方程。

例 4.1.5 (解答题2,keycap-1keycap-0green-circle91%) z=z(x,y)具有二阶连续偏导数,满足方程(14)zxx+zxy+zx=z 求函数w=w(u,v)=zey满足的偏微分方程,其中(u,v)=(x+y2,xy2)

计算可得keycap-4(15)(xy)=(uv)(12121212)=12(u+vuv)(2x22xy2yx2y2)=(uv)(uv)=(12121212)(2u22uv2vu2v2)(12121212)=14(2u2+22uv+2v22u22v22u22v22v222uv+2u2) 作换元(x,y)(u,v),则z满足的微分方程为keycap-3(16)z=14(zuu+2zuv+zvv)+14(zuuzvv)+12(zu+zv)=12(zuu+zuv+zu+zv) 再代入z=wey=wevu可得keycap-3(17)2wevu=2z=evu(wuu+wuv)wuu+wuv=2w

例 4.1.6 (解答题3,keycap-1keycap-0yellow-circle87%) 求函数arctan1+x+y1x+y在原点处带Peano余项的二阶Taylor公式。

(u,v)=(x+y,xy),计算可得(18)arctan1+u1v=arctan[(1+u)(1+v+v2+o(v2))]=arctan[1+u+v+uv+v2+o(u2+v2)] 注意到(19)arctan(1+t)=π4+12t14t2+o(t2) 代入t=u+v+uv+v2可得(20)arctan1+u1v=π4+12(u+v+uv+v2)14(u+v+uv+v2)2+o(u2+v2)=π4+12(u+v+uv+v2)14(u+v)2+o(u2+v2)=π4+122x(xy+1)14(2x)2+o(x2+y2)=π4+xxy+o(x2+y2)

例 4.1.7 (解答题4,keycap-1keycap-0green-circle91%) xy(x,y)=(1,0)处展为带Peano余项的二阶Taylor公式。

x=1+t,计算可得(21)xy=exp[yln(1+t)]=exp[y(t+o(t))]=exp(ty+o(ty))=1+(x1)y+o((x1)2+y2)

例 4.1.8 (解答题5,keycap-1keycap-0green-circle93%) fC1(R2)满足对任意(x,y)(0,0)xfx(x,y)+yfy(x,y)>0,证明:原点是f的唯一驻点,且为f的最小值点。

证明 (x0,y0)(0,0),构造函数g(t):=f(x0t,y0t),(t0),求导可得keycap-4(22)g(t)=x0fx(x0t,y0t)+y0fy(x0t,y0t)=1t(x0tfx(x0t,y0t)+y0tfy(x0t,y0t))>0,t>0 由Lagrange中值定理可得keycap-4(23)f(x0,y0)f(0,0)=g(1)g(0)=g(ξ)>0 故原点是f的最小值点。显然其余点不是f的驻点,由Fermat引理可知原点是f的唯一驻点。keycap-2

例 4.1.9 (解答题6,keycap-1keycap-0yellow-circle87%) 求函数z=x4+y44x2+8xy4y2的所有驻点,并讨论该函数的极值和最值。

注意到z连续且满足lim(x,y)z(x,y)=+,故zR2上有最小值、无最大值,且最小值点为极值点(之一)。keycap-2计算可得(24)(zxzy)=4(x32x+2yy32y+2x)=(00) 解得所有驻点为keycap-2(25)(x,y)=(0,0),(2,2),(2,2) 继续计算可得(26)Hf(x,y)=(2zx22zxy2zyx2zy2)=4(3x22223y22) 因此keycap-2(27)Hf(0,0)=(2222),Hf(2,2)=(102210),Hf(2,2)=(102210)(0,0)为退化驻点,(2,2),(2,2)为极小值点,且z(2,2)=z(2,2)=32,因此z的最小值为32keycap-2注意到(28)z(t,0)=t44t2,z(t,t)=2t4 即在0方向(0,0)为极大值,在45方向(0,0)为极小值,故(0,0)为鞍点。keycap-2

例 4.1.10 (解答题7,keycap-1keycap-0yellow-circle89%) 讨论函数f(x,y)=2x+yx2ex+y的极值和最值,以及该函数的值域。

注意到(29)f(0,y)=yey,yf(x,y)=xx2+(x+y)ex+y14+(1)=34,(x,y)R2 第二个式子在(x,y)=(12,12)时取得等号。故fR2上有最大值34、无最小值,值域为(,34],且最大值点为极值点(之一)。keycap-4计算可得(30)(fxfy)=(22xex+y1ex+y)=(00) 解得(x,y)=(12,12)为唯一驻点,其必为极大值点。keycap-6

例 4.1.11 (解答题8,keycap-1keycap-0yellow-circle87%) 设函数u(x,y)在闭区域D:x2+y21上连续,在区域D:x2+y2<1内满足uxx+uyy=u,且在边界D:x2+y2=1上满足u(x,y)0。证明:在区域x2+y2<1内,u(x,y)0

证明 类似例3.3.12,采用反证法。设(x0,y0)u的最小值点,假设u(x0,y0)<0,则x02+y02<1(即(x0,y0)D),故Hu(x0,y0)半正定;然而(31)0trHu(x0,y0)=uxx+uyy=u(x0,y0)<0 矛盾!故(x,y)D,都有u(x,y)u(x0,y0)0成立。

例 4.1.12 (解答题9,keycap-1keycap-0yellow-circle88%) 讨论函数z(x,y)=(1+ey)cosxyey的驻点、极值、最值,并求该函数的值域。

注意到(32)u(x,y)=(1+ey)cosxyey1+eyyey2,(x,y)R2(x,y)=(2kπ,0)时取得等号。故zR2上有最大值2、无最小值,值域为(,2],且最大值点为极值点(之一)。keycap-4随后参见例3.3.9,计算驻点keycap-2、分析得到极大值点keycap-2和鞍点keycap-2

例 4.1.13 (解答题10,keycap-1keycap-0green-circle96%) 证明:对任何正数x,y都有(33)ex1+xlnx+ey1+ylny2xy

证明 参见例3.3.10。定义函数、计算驻点keycap-2、Hesse矩阵keycap-2、分析Hesse矩阵的(半)正定性keycap-2、(利用凸函数)证明最小值存在keycap-2、计算得到极(最)小值keycap-2

本例的另一种做法是证明加强命题:(34)ex1+xlnxx2ex1+xlnx+ey1+ylnyx2+y22xy 这样只用一元函数的性质即可证明原命题。

在说明极值点是最值点时,一定要首先证明最值存在!