4.1 第3次作业评讲
4.1.1 概念和计算部分
例 4.1.1
判断题:
-
(1)
-
(
71%)累次极限就是沿从经到的折线趋于时的极限。
-
(2)
-
(
97%)偏导数和总是相等的。
解
(1) 错。沿从经到的折线趋于时的极限,实际上就是,只取一次极限;累次极限是两次极限,第一次极限是沿到取极限,然后再对一元函数取极限。
(2) 错。混合偏导数未必总是相等的;但当这两个偏导函数都连续时,它们是相等的。
例 4.1.2
单项选择题:
-
(3)
-
(
90%)可微函数沿它的梯度方向
-
(A)
-
增长最快
-
(B)
-
减少最快
-
(C)
-
不变
-
(D)
-
视具体情况而定
解
(3) A。对梯度的单位向量,以及任意单位向量,都有
例 4.1.3
填空题:
-
(4)
-
(
86%)函数在点处的全微分为 ____。
-
(5)
-
(
78%)已知,,,是二阶可微的一元函数,满足、、,则的偏导数 ____。
-
(6)
-
(
58%)设,其中,是二阶连续可微函数。记表示三元函数对第个自变量的一阶偏导数,表示三元函数对第个自变量和第个自变量的二阶偏导数。若二元函数在点处的偏导数
则 ____, ____。
-
(7)
-
(
85%)映射
在点处的Jacobi矩阵的行列式等于____。
-
(8)
-
(
84%)球坐标变换
在处的Jacobi行列式的值为____。
-
(9)
-
(
81%)已知函数在点处的梯度为,则在点处沿向量的方向的方向导数为____。
解
(4) ,。
(5) 由题知,计算可得
故。
(6) 由题知,其中,计算可得
故,。
(7) 计算可得Jacobi矩阵为
故。
(8) 计算可得Jacobi矩阵为
故。
(9) 归一化得到。由梯度和方向导数的关系可得
4.1.2 解答和证明部分
解
记,计算可得
所以
进一步计算可得
故有
即满足Laplace方程。
解
计算可得
作换元,则满足的微分方程为
再代入可得
解
设,计算可得
注意到
代入可得
解
令,计算可得
证明
,构造函数,求导可得
由Lagrange中值定理可得
故原点是的最小值点。显然其余点不是的驻点,由Fermat引理可知原点是的唯一驻点。
解
注意到连续且满足,故在上有最小值、无最大值,且最小值点为极值点(之一)。
计算可得
解得所有驻点为
继续计算可得
因此
故为退化驻点,为极小值点,且,因此的最小值为。
注意到
即在方向为极大值,在方向为极小值,故为鞍点。
解
注意到
第二个式子在时取得等号。故在上有最大值、无最小值,值域为,且最大值点为极值点(之一)。
计算可得
解得为唯一驻点,其必为极大值点。
证明
类似例3.3.12,采用反证法。设为的最小值点,假设,则(即),故半正定;然而
矛盾!故,都有成立。
解
注意到
当时取得等号。故在上有最大值、无最小值,值域为,且最大值点为极值点(之一)。
随后参见例3.3.9,计算驻点
、分析得到极大值点
和鞍点
。
注
在说明极值点是最值点时,一定要首先证明最值存在!