10.1 第9次作业评讲

在已知方程恰当后，如不便凑出全微分，可以通过直接积分的方法求解。设恰当方程$$\begin{array}{}\text{(1)}& P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0\end{array}$$ 则方程的通解$f(x,y)=C$满足$$\begin{array}{}\text{(2)}& f(x,y)=f(x_0,y_0)+{\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}[P(\xi ,\eta )\mathrm{d}\xi +Q(\xi ,\eta )\mathrm{d}\eta ]\end{array}$$ 其中起点、路径可以任意选择，比如沿折线段$(x_0,y_0)\to (x_0,y)\to (x,y)$、沿线段$(x_0,y_0)\to (x,y)$等。

解 这不是恰当方程。注意到$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y}{x^2+y^2}+\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\mathrm{d}(x^2+y^2)+\mathrm{d}\arctan \frac{x}{y}=0\end{array}$$ 故通解为$$\begin{array}{}\text{(6)}& \frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)+\arctan \frac{x}{y}=C\end{array}$$ 另一种做法是利用极坐标换元，计算可得原式为$$\begin{array}{}\text{(7)}& \omega =r\mathrm{d}r-r^2\mathrm{d}\theta =0\Rightarrow \frac{\mathrm{d}r}{r}-\mathrm{d}\theta =0\end{array}$$ 故通解为$$\begin{array}{}\text{(8)}& \ln r-\theta =C\end{array}$$ 写成直角坐标形式即为$$\begin{array}{}\text{(9)}& x=C{\mathrm{e}}^{\theta }\cos \theta ,y=C{\mathrm{e}}^{\theta }\sin \theta \end{array}$$ $◻$

解 这不是恰当方程。注意到$$\begin{array}{}\text{(11)}& \mathrm{d}(x-y)=\frac{\mathrm{d}(x+y)}{x+y}\end{array}$$ 故通解为$$\begin{array}{}\text{(12)}& x-y=\ln |x+y|+C\end{array}$$ 同时，也可以注意到${\mathrm{e}}^{y-x}$为积分因子，故有$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\mathrm{e}}^{y-x}(x+y)=C\end{array}$$ $◻$

解 请注意：$\mathrm{\Sigma }$是锥面而不是柱面的一部分，故$\mathrm{d}S$不为$r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$！$\mathrm{\Sigma }$在柱坐标系下的参数方程为$$\begin{array}{}\text{(14)}& x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=r\end{array}$$ 故有$$\begin{array}{}\text{(15)}& \mathrm{d}S=\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta =\sqrt{2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \end{array}$$ $◻$