第5次作业评讲

在求解多元函数的极值时，如果定义域不是开集，则必须讨论函数在边界上的取值。

例 6.1.1 （例2）求函数 $z = (x^{2} + y^{2}) e^{- (x^{2} + y^{2})}$ 的极值。

解令 $t = x^{2} + y^{2}$ ，一元函数 $f : [0, + \infty) \to R$ 、 $f (t) = t e^{- t}$ 在 $t = 1$ 处取得极大值 $e^{- 1}$ 、在边界 $t = 0$ 处取得极小值 $0$ 。 $◻$

例 6.1.2 （例14）求 $z = x y (4 - x - y)$ 在 $x = 1$ 、 $y = 0$ 、 $x + y = 6$ 所围闭区域 $\overset{―}{D}$ 上的最大值。

解先求开区域 $D^{\circ}$ 内的最大值，再求三条边界上的驻点。 $◻$