9.1 第8次作业评讲

解 设$L$围成的区域为$D^{\prime }$，由Green公式可得$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\oint }_{L}yf(x,y)\mathrm{d}x-xf(x,y)\mathrm{d}y=-{\int }_{D^{\prime }}[2f(x,y)+x{f}_x(x,y)+y{f}_y(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$ 注意到$$\begin{array}{}\text{(2)}& f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)\Rightarrow x{f}_1(tx,ty)+y{f}_2(tx,ty)=-\frac{2}{t^3}f(x,y)\end{array}$$ 令$t=1$，可得$$\begin{array}{}\text{(3)}& x{f}_x+y{f}_y=-2f\end{array}$$ 故有$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\oint }_{L}yf(x,y)\mathrm{d}x-xf(x,y)\mathrm{d}y=0\end{array}$$ $◻$