知识点复习

1.2 知识点复习

1.2.1 距离

重要概念回顾对于给定线性空间 $(F, X)$ （一般 $F = R$ 或 $C$ ，如 $R^{m}$ ），

(1): 距离 $d : X \times X \to R$ ：对称性、正定性、三角不等式。
(2): 范数 $∥ \cdot ∥ : X \to R$ ：正定性、齐次性、三角不等式。若定义 $d (x, y) := ∥ x - y ∥$ ，则 $d$ 是 $X$ 上的距离且满足平移不变性。
(3): 内积 $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : X \times X \to F$ ：（共轭）对称性、（半）线性、正定性。若定义 $∥ x ∥ := \sqrt{⟨ x, x ⟩}$ ，则 $∥ \cdot ∥$ 是 $X$ 上的范数且满足平行四边形等式和Cauchy-Schwarz不等式。

应用

(1): $p$ -范数（1-范数、2-范数、无穷范数）。
(2): 标准内积。

1.2.2 极限

重要概念回顾

(1): 有界、数列有界、数列收敛、Cauchy列。
(2): 闭集、紧集、列紧性。
(3): 完备性：任意Cauchy列均收敛到自身。

重要定理回顾对于给定度量空间 $(X, d)$ （如 $R^{m}$ ），

(1): 收敛 $\Rightarrow$ Cauchy列 $\Rightarrow$ 有界，Cauchy列 $+$ 存在收敛子列 $\Rightarrow$ 收敛。
(2): $R^{m}$ 是完备的。
(3): $R^{m}$ 上的所有范数等价。
(4): $R^{m}$ 上的有界闭集等价于紧集。

1.2.3 连续映射与函数

重要概念回顾

(1): 连续映射。
(2): 道路连通集。

重要定理回顾

(1): 映射在某一点处的连续性等价于任意收敛于该点的数列的像收敛于该点的像。
(2): $R^{m}$ 中，连续映射将有界闭集映射为有界闭集，连续函数在有界闭集上有最值。
(3): 连续映射将道路连通集映射为道路连通集，连续函数在道路连通集上存在介值性。
(4): 复合映射的连续性。
(5): $R^{m}$ 中的映射连续等价于其分量函数连续。

应用

(1): $R^{m}$ 中变换（定义域与陪域相同的映射）的对称性、特征值、特征向量、谱分解定理。

注

(1): $R^{m}$ 中，数列的极限与范数的选择无关。
(2): 设函数 $f : R^{2} \to R$ ，即便固定任意一个变量均能得到连续函数， $f$ 仍不一定连续。反例为 $f (x, y) = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ ，补充定义 $f (0, 0) = 0$ 。
(3): 设函数 $f : R^{2} \to R$ ，即便 $f$ 在原点处任意方向的极限（即 $lim_{r \to 0} f (r \cos θ, r \sin θ)$ ）均存在， $f$ 仍不一定连续。反例为 $f (x, y) = \frac{x^{2} y}{x^{4} + y^{2}}$ ，补充定义 $f (0, 0) = 0$ 。

1.2.4 映射与函数的极限

重要概念回顾

(1): 聚点（孤立点、导集）、映射（函数）在一点处的极限（为向量或 $\pm \infty$ ）。
(2): 映射（函数）在某些分量的无穷远处的极限。
(3): 映射（函数）在无穷远处的极限。
(4): 多重极限、累次极限。

重要定理回顾

(1): 映射在某一点处的连续性等价于映射在该点处的极限等于该点的像。
(2): 映射在某一点处的极限为 $A$ 等价于任意收敛于该点的数列的像收敛于 $A$ 。
(3): 复合映射的极限。
(4): 开集上某一点处的多重极限与任意顺序的累次极限均存在 $\Rightarrow$ 以上极限均相等。换言之，若存在某两个顺序的累次极限不相等，则多重极限不存在。
(5): 若重极限 $lim_{\begin{matrix} x \to x_{0} \\ y \to y_{0} \end{matrix}} f (x, y) = A$ 且对 $x_{0}$ 的某个去心邻域中极限 $lim_{y \to y_{0}} f (x, y) = g (x)$ 存在，则 $lim_{x \to x_{0}} g (x)$ 存在且 $lim_{x \to x_{0}} g (x) = A$ ，从而 $lim_{x \to x_{0}} lim_{y \to y_{0}} f (x, y) = A$ 。

注

(1): $R^{m}$ 中，映射的极限与范数的选择无关。
(2): 映射连续性的四则运算法则对映射的极限也成立。
(3): 定理(2)通常用于证明极限不存在。
(4): 在复合映射 $g \circ f$ 的极限中，“ $g$ 的连续性”或“ $f$ 在 $x_{0}$ 的某个邻域内的函数值不为 $y_{0}$ ”必不可少。
(5): 以下记号等价： $lim_{\begin{matrix} x \to a \\ y \to b \end{matrix}} = lim_{x \to a, y \to b} = lim_{(x, y) \to (a, b)}$ 。
(6): 多重极限与累次极限没有直接关系。

axyxxxy(x00x→→,→y ax)−,0 →y,∞y,→∞→y +→y∞0− ∞ — 图 1.2.1: 各种极限的趋近方式示意

1.2.5 *范数诱导距离、内积诱导范数

如何判断距离是否由范数诱导？如何判断范数是否由内积诱导？

定理 1.2.1 设 $d : X \times X \to R$ 为距离，则存在范数 $∥ \cdot ∥ : X \to R$ 满足 $d (x, y) = ∥ x - y ∥$ 当且仅当 $d$ 满足：

(1): 齐次性： $\forall λ \in F$ 、 $\forall x, y \in X$ ， $d (λ x, λ y) = | λ | d (x, y)$ ；
(2): 平移不变性： $\forall x, y, z \in X$ ， $d (x + z, y + z) = d (x, y)$ ；

证明 $\Rightarrow$ 是平凡的，我们来证明 $\Leftarrow$ 。令 $∥ x ∥ := d (x, 0)$ ，则

(1): 正定性： $∥ x ∥ = d (x, 0) \geq 0$ 且 $∥ x ∥ = 0$ 当且仅当 $x = 0$ ；
(2): 齐次性： $∥ λ x ∥ = d (λ x, 0) = | λ | d (x, 0) = | λ | ∥ x ∥$ ；
(3): 三角不等式： $∥ x + y ∥ = d (x + y, 0) \leq d (x + y, x) + d (x, 0) = d (y, 0) + ∥ x ∥ = ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ 。

◻

定理 1.2.2 设 $∥ \cdot ∥ : X \to R$ 为范数，则存在内积 $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : X \times X \to F$ 满足 $∥ x ∥ = \sqrt{⟨ x, x ⟩}$ 当且仅当 $∥ \cdot ∥$ 满足平行四边形等式： $\begin{matrix} (1) & ∥ x + y ∥^{2} + ∥ x - y ∥^{2} = 2 ∥ x ∥^{2} + 2 ∥ y ∥^{2} \end{matrix}$

证明 $\Rightarrow$ 是平凡的，逐步展开即可。 $\Leftarrow$ ：构造极化恒等式。 $\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{4} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2}), & (实数域) \\ ⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{4} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2} + i ∥ x + i y ∥^{2} - i ∥ x - i y ∥^{2}), & (复数域) \end{aligned} \end{matrix}$ 我们仅对 $F = R$ 的情况给出证明。依次验证内积的性质：

(1)

对称性： $\begin{matrix} (3) & ⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{4} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2}) = \frac{1}{4} (∥ y + x ∥^{2} - ∥ y - x ∥^{2}) = ⟨ y, x ⟩ \end{matrix}$

(2)

双线性的证明较复杂，以下概述证明过程：

证明： $⟨ u + w, v ⟩ = ⟨ u, v ⟩ + ⟨ w, v ⟩$ 。 $\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \Leftrightarrow & ∥ u + w + v ∥^{2} - ∥ u + w - v ∥^{2} + ∥ u + v - w ∥^{2} - ∥ u + v - w ∥^{2} \\ = ∥ u + v ∥^{2} - ∥ u - v ∥^{2} + ∥ w + v ∥^{2} - ∥ w - v ∥^{2} \\ \Leftrightarrow & 2 ∥ u + v ∥^{2} + 2 ∥ w ∥^{2} - 2 ∥ u ∥^{2} - 2 ∥ v - w ∥^{2} \\ = ∥ u + v ∥^{2} - ∥ u - v ∥^{2} + ∥ w + v ∥^{2} - ∥ w - v ∥^{2} \\ \Leftrightarrow & ∥ u + v ∥^{2} + ∥ u - v ∥^{2} + 2 ∥ w ∥^{2} = ∥ w + v ∥^{2} + ∥ w - v ∥^{2} + 2 ∥ u ∥^{2} \\ \Leftrightarrow & 2 ∥ u ∥^{2} + 2 ∥ v ∥^{2} + 2 ∥ w ∥^{2} = 2 ∥ u ∥^{2} + 2 ∥ v ∥^{2} + 2 ∥ w ∥^{2} \end{aligned} \end{matrix}$
利用数学归纳法证明： $⟨ n u, v ⟩ = n ⟨ u, v ⟩$ ，其中 $n \in N$ 。
证明： $⟨ - u, v ⟩ = - ⟨ u, v ⟩$ 。
设 $r = \frac{p}{q} \in Q^{+}$ ，其中 $p, q \in N^{+}$ ，则 $q ⟨ r u, v ⟩ = ⟨ p u, v ⟩$ ，故 $⟨ r u, v ⟩ = r ⟨ u, v ⟩$ 。
设 $r \in Q^{-}$ ，则 $⟨ r u, v ⟩ = ⟨ (- r) (- u), v ⟩ = - r ⟨ - u, v ⟩ = r ⟨ u, v ⟩$ 。
设 $a \in R$ ，令 $f : Q \to R$ 满足 $f (r) := ⟨ r u, v ⟩$ ， $\hat{f} : R \to R$ 满足 $\hat{f} (a) := lim_{r \in Q \to a} f (r)$ 。若 $⟨ u, v ⟩ = 0$ ，则 $\hat{f} (a) = 0$ 平凡地成立。若 $⟨ u, v ⟩ \neq 0$ ，则需要依次证明：
- $f$ 在 $Q$ 上严格单调。
- $\forall a \in R$ ， $lim_{r \in Q \to a} f (r)$ 存在。
- $\forall r \in Q$ ， $\hat{f} (r) = f (r)$ 。
- $\hat{f}$ 在 $R$ 上严格单调。
- $\hat{f}$ 在 $R$ 上连续。
- $\hat{f} (a) = a ⟨ u, v ⟩$ ，亦即 $\forall λ \in R$ ，都有 $⟨ λ u, v ⟩ = λ ⟨ u, v ⟩$ 。

(3)

正定性： $\begin{matrix} (5) & ⟨ x, x ⟩ = \frac{1}{4} (∥ x + x ∥^{2} - ∥ x - x ∥^{2}) = \frac{1}{4} (4 ∥ x ∥^{2} - 0) = ∥ x ∥^{2} \end{matrix}$ 故 $⟨ x, x ⟩ \geq 0$ 且 $⟨ x, x ⟩ = 0$ 当且仅当 $x = 0$ 。

◻

定义了距离的空间称为度量空间，定义了范数的空间称为赋范空间，定义了内积的空间称为内积空间。它们的关系为：内积空间 $\subset$ 赋范空间 $\subset$ 度量空间。

1.2.6 *点集拓扑初步(1)

设 $(X, d)$ 为度量空间，定义

(1): 开集：设 $G \subseteq X$ ，若 $G$ 中的点均为内点，即 $\forall x \in G$ ， $\exists r > 0$ ，使得 $B (x, r) \subseteq G$ ，则称 $G$ 为 $X$ 的开子集，简称开集。
(2): 闭集：设 $F \subseteq X$ ，若 $F^{C} := X ∖ F$ 为开集，则称 $F$ 为 $X$ 的闭子集，简称闭集。
(3): 内部：设 $A \subseteq X$ ，记 $U_{A} := {U \in 2^{A} ∣ U 为开集}$ ，则 $A$ 的内部 $A^{\circ} := ⋃_{U \in U_{A}} U$ 。 $A^{\circ}$ 的所有点即为 $A$ 的内点，且 $A^{\circ}$ 是 $A$ 的最大开子集。
(4): 闭包：设 $A \subseteq X$ ，记 $F_{A} := {F \in 2^{X} ∣ F 为闭集且 A \subseteq F}$ ，则 $A$ 的闭包 $\overset{―}{A} := ⋂_{F \in F_{A}} F$ 。 $\overset{―}{A}$ 是 $A$ 的最小闭集。
(5): 边界：设 $A \subseteq X$ ，则 $A$ 的边界 $\partial A := \overset{―}{A} ∖ A^{\circ}$ 。
(6): 紧集：设 $K \subseteq X$ ，若 $K$ 中的任意开覆盖都有有限子覆盖，则称 $K$ 为紧集。
(7): 列紧性：设 $K \subseteq X$ ，若 $K$ 中的任意数列都有收敛子列，则称 $K$ 为列紧集。若 $K$ 中的任意数列都有收敛子列且极限均在 $K$ 中，则称 $K$ 为自列紧集。

注以下陈述中涉及的命题可尝试证明。

(1): $\emptyset$ 与 $X$ 既是开集，也是闭集。
(2): 任意多个开集的并集仍为开集，有限多个开集的交集仍为开集；任意多个闭集的交集仍为闭集，有限多个闭集的并集仍为闭集。
(3): 开集、闭集的定义与度量空间有关。讨论开集、闭集时，需要强调相对于哪个度量空间（课本上默认为 $R^{m}$ ）。如 $(0, 1]$ 是 $[- 1, 1]$ 的开集，但不是 $R$ 的开集； $[0, 1] \cap Q$ 是 $Q$ 的闭集，但不是 $R$ 的闭集。
(4): 无限多个开集的交集未必是开集。如 $⋂_{n = 1}^{+ \infty} (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = {0}$ ，不是开集。无限多个闭集的并集未必是闭集。如 $⋃_{n = 1}^{+ \infty} [- 1 + \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n}] = (- 1, 1)$ ，不是闭集。
(5): 内部与闭包的关系： $(A^{\circ})^{C} = \overset{―}{A^{C}}$ 、 $(\overset{―}{A})^{C} = (A^{C})^{\circ}$ 。
(6): $\partial A = \partial A^{C}$ 。
(7): 证明 $G \subseteq X$ 是开集：证明 $G$ 中的点均为内点；证明 $G$ 是某个集合的内部；证明 $G$ 是任意多个开集的并集，或是有限多个开集的交集。
(8): 证明 $F \subseteq X$ 是闭集：证明 $F^{C}$ 是开集；证明 $F$ 是某个集合的闭包；证明 $F$ 是任意多个闭集的交集，或是有限多个闭集的并集；证明 $\forall {x_{n}}_{n = 1}^{+ \infty} \subseteq F$ ，若 $lim_{n \to + \infty} x_{n} = x$ ，则 $x \in F$ 。
(9): $K$ 是紧集等价于 $K$ 是自列紧集。证明参见¹⁰。
(10): 紧集是有界闭集，反之则未必。 $R^{m}$ 中，紧集等价于有界闭集。此结论可推广至有限维度量空间。

定理 1.2.3 证明： $F \subseteq X$ 是闭集等价于 $\forall {x_{n}}_{n = 1}^{+ \infty} \subseteq F$ ，若 $lim_{n \to + \infty} x_{n} = x \in X$ ，则 $x \in F$ 。

证明 $\Rightarrow$ ：谬设 $x \in F^{C}$ ，由于 $F^{C}$ 是开集，故 $\exists r > 0$ ，使得 $B (x, r) \subseteq F^{C}$ 。此时 $\forall n \in N^{+}$ ， $d (x_{n}, x) > r$ ，与 $lim_{n \to + \infty} x_{n} = x$ 矛盾！故 $x \in F$ 。

$\Leftarrow$ ：谬设 $F$ 不为闭集，则 $F^{C}$ 不为开集，故 $\exists x \in F^{C}$ ，使得 $\forall r > 0$ ， $B (x, r) ⊈ F^{C}$ 。取 $r = \frac{1}{n}$ ，则 $\exists x_{n} \in B (x, \frac{1}{n})$ ，使得 $x_{n} \in F$ 。此时 $lim_{n \to + \infty} x_{n} = x$ ，则 $x \in F$ ，与 $x \in F^{C}$ 矛盾！故 $F$ 是闭集。 $◻$

定理 1.2.4 证明： $A$ 既开又闭等价于 $\partial A = \emptyset$ 。

证明 $\Rightarrow$ ：若 $A$ 既开又闭，则 $A$ 与 $A^{C}$ 均为开集，故 $A \cap \partial A = A^{\circ} \cap \partial A = \emptyset$ 、 $A^{C} \cap \partial A = A^{C} \cap \partial A^{C} = \emptyset$ ，故 $\partial A = \partial A \cap (A \cup A^{C}) = \emptyset$ 。

$\Leftarrow$ ：若 $\partial A = \emptyset$ ，则 $A \cap \partial A = \emptyset$ 、 $A^{C} \cap \partial A^{C} = A^{C} \cap \partial A = \emptyset$ ，故 $A$ 与 $A^{C}$ 均为开集，即 $A$ 既开又闭。 $◻$

1.2.7 *点集拓扑初步(2)

定义

(1)

逆像：设 $T : X \to Y$ ， $A \subseteq Y$ ，则 $T$ 的逆像 $T^{- 1} (A) := {x \in X ∣ T (x) \in A}$ 。

(2)

连续映射：设 $(X, d_{1}), (Y, d_{2})$ 为度量空间， $T : X \to Y$ ，则以下命题等价：

$T$ 连续，即 $\forall x_{0} \in X$ ， $\forall ε > 0$ ， $\exists δ > 0$ ， $\forall x \in X$ ， $d_{1} (x, x_{0}) < δ \Rightarrow d_{2} (T x, T x_{0}) < ε$ ；
$\forall G \subseteq Y$ ，若 $G$ 是 $Y$ 中的开集，则 $T^{- 1} (G)$ 是 $X$ 中的开集；
$\forall F \subseteq Y$ ，若 $F$ 是 $Y$ 中的闭集，则 $T^{- 1} (F)$ 是 $X$ 中的闭集。

(3)

连通集：设 $(X, d)$ 为度量空间，则以下命题等价：

$X$ 为连通集，即 $X$ 的既开又闭的子集只有 $\emptyset$ 与 $X$ ；
$X$ 不能表示为两个不相交的非空开集的并。
$X$ 不能表示为两个不相交的非空闭集的并。
不存在连续满射 $f : X \to {0, 1}$ 。

例： $Q$ 不是连通集，因为 $Q \cap (- \infty, - \sqrt{2})$ 、 $Q \cap (\sqrt{2}, + \infty)$ 是 $Q$ 的两个既开又闭的子集。

(4)

道路连通集：设 $(X, d)$ 为度量空间，称 $X$ 为道路连通集，若 $\forall a, b \in X$ ，存在连续映射 $γ : [0, 1] \to X$ 使得 $γ (0) = a, γ (1) = b$ 。

注以下陈述中涉及的命题可尝试证明。

(1): $A$ 连通 $\Rightarrow \overset{―}{A}$ 连通。
(2): 设 $f : X \to Y$ 是连续映射，若 $A$ 是 $X$ 的连通子集，则 $f (A)$ 是 $Y$ 的连通子集。
(3): 连续函数在紧集上有最值，在紧集上一致连续。
(4): 连续函数在连通集上存在介值性。
(5): 道路连通集是连通集；反之则未必，如“拓扑学家的正弦函数” $X = {(x, y) ∣ y = \sin \frac{1}{x}, x \neq 0} \cup {(0, y) ∣ - 1 \leq y \leq 1}$ 。

定理 1.2.5 道路连通集是连通集。

证明假设 $X$ 道路连通但不连通，则存在 $X$ 的非空不相交开集 $G_{1}, G_{2}$ 使得 $G_{1} \cup G_{2} = X$ 。取 $a \in G_{1}$ 、 $b \in G_{2}$ ，则存在连续映射 $γ : [0, 1] \to X$ 使得 $γ (0) = a, γ (1) = b$ 。由于 $γ^{- 1} (G_{1})$ 、 $γ^{- 1} (G_{2})$ 是 $[0, 1]$ 的开集且 $γ^{- 1} (G_{1}) \cup γ^{- 1} (G_{2}) = [0, 1]$ ，故 $[0, 1]$ 不为连通集，矛盾！ $◻$

定理 1.2.6 $R^{n}$ 中连通的开集是道路连通集。

证明设 $G \subseteq R^{n}$ 为连通的开集，任取 $a \in G$ ，令 $G_{a} := {x \in G ∣ \exists γ : [0, 1] \to G s.t. γ (0) = a, γ (1) = x}$ 。显然 $a \in G_{a}$ ，故 $G_{a}$ 非空。

由于 $G$ 为开集，故 $\forall x \in G$ ， $\exists r > 0$ ，使得 $B (x, r) \subseteq G$ 。由于 $R^{n}$ 中的开球为道路连通集，故 $\forall y \in B (x, r)$ ， $\exists γ^{'} : [0, 1] \to G$ 使得 $γ^{'} (0) = x, γ^{'} (1) = y$ ；故 $y \in G_{a}$ ，即 $G_{a}$ 是 $G$ 的开子集。

$\forall {x}_{n = 1}^{+ \infty} \in G_{a}$ 且满足 $lim_{n \to + \infty} x_{n} = x \in G$ ，则 $\exists r > 0$ ，使得 $B (x, r) \subseteq G$ ；故 $\exists N \in N^{+}$ ， $n \geq N \Rightarrow x_{n} \in B (x, r)$ 。由于 $x_{N} \in G_{a} \cap B (x, r)$ 、 $x \in B (x, r)$ 、 $R^{n}$ 中的开球为道路连通集，故 $x \in G_{a}$ ，即 $G_{a}$ 是 $G$ 的闭子集。

故 $G_{a}$ 是 $G$ 的非空开闭子集，由于 $G$ 连通，故 $G_{a} = G$ ，即 $G$ 是道路连通集。 $◻$