11.2 知识点复习

11.2.1 级数的概念

重要概念回顾

(1)

级数：设$V$为线性空间，$\{a_n{\}}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\subseteq V$，则称$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$为级数。

(2)

级数的敛散性：记级数$\{a_n{\}}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$的部分和数列为$S_N:=\sum _{n=1}^N{a}_n$，$\parallel \cdot \parallel$是$V$上的范数，则称级数$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$收敛（于$S$）若$\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{lim}{S}_N=S$，级数发散若部分和数列的极限不存在。

重要定理回顾

(1)

级数的线性：设$\sum a_n$、$\sum b_n$收敛，则$\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in \mathbb{F}$，$\sum (\lambda a_n+\mu b_n)$收敛，且$\sum (\lambda a_n+\mu b_n)=\lambda \sum a_n+\mu \sum b_n$。

(2)

级数的保号性：设$a_n,b_n\in \mathbb{R}$且$a_n\le b_n$恒成立，则$\sum a_n\le \sum b_n$。

应用

(1)

若$V=\mathcal{C}[0,1]$，则$\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in [0,1]}{max}|f(x)|$是$V$上的范数。设$f_n\in \mathcal{C}[0,1]$，若$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{f}_n$在$\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{\infty }}$下收敛，则其在$[0,1]$上一致收敛。

(2)

设$V=\mathcal{R}[0,1]$，则$\parallel f{\parallel }_2=\sqrt{{\int }_0^1|f(x){|}^2\mathrm{d}x}$是$V$上的范数。设$f_n\in \mathcal{R}[0,1]$，若$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{f}_n$在$\parallel \cdot {\parallel }_2$下收敛，则其在$[0,1]$上平方收敛。

(3)

设$V$上具有范数$\parallel \cdot \parallel$、与范数相容的乘法结构（$\parallel xy\parallel \le \parallel x\parallel \parallel y\parallel$）和逆运算$x^{-1}$。定义几何级数$G(x)=1+x+x^2+\cdots =\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{x}^n$，当$\parallel x\parallel <1$时，级数收敛，且$G(x)=(1-x{)}^{-1}$。当$V=\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$时，$\parallel x\parallel =|x|$；当$V={\mathbb{R}}^{n\times n}$时，$\parallel x\parallel$为矩阵范数。

(4)

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}=1$。

注 若$V=\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$，则称$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$为数项级数。

11.2.2 级数的敛散性

重要概念回顾

(1)

绝对收敛：称级数$\sum a_n$绝对收敛，若$\sum \parallel a_n\parallel$收敛。

(2)

条件收敛：称级数$\sum a_n$条件收敛，若$\sum a_n$收敛而$\sum \parallel a_n\parallel$发散。

重要定理回顾

(1)

Cauchy收敛准则：设$(V,\parallel \cdot \parallel )$完备（$V$中的任何Cauchy列都收敛于自身），则$\sum a_n$收敛当且仅当部分和数列$\{S_N\}$是Cauchy列，即$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }{N}_{\epsilon }>0$使得$\mathrm{\forall }N>M>N_{\epsilon }$，$\parallel S_N-S_M\parallel <\epsilon$。

(2)

如果$\sum a_n$收敛，则$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$。

(3)

绝对收敛的级数必收敛。

(4)

比较判别法：设$\mathrm{\exists }{N}_0$使得$n\ge N⟹\parallel a_n\parallel \le \parallel b_n\parallel$，若$\sum \parallel b_n\parallel$收敛，则$\sum \parallel a_n\parallel$收敛；若$\sum \parallel a_n\parallel$发散，则$\sum \parallel b_n\parallel$发散。

(5)

推广的比较判别法：若$\parallel a_n\parallel =\mathcal{O}(\parallel b_n\parallel )$（$n\to +\mathrm{\infty }$），则当$\sum \parallel b_n\parallel$收敛时，$\sum \parallel a_n\parallel$收敛。若$\parallel a_n\parallel =\mathcal{O}(\parallel b_n\parallel )$且$\parallel b_n\parallel =\mathcal{O}(\parallel a_n\parallel )$，则$\sum a_n$绝对收敛当且仅当$\sum b_n$绝对收敛。

(6)

D’Alembert判别法：设$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\parallel a_{n+1}\parallel }{\parallel a_n\parallel }=\rho$，若$\rho <1$，则$\sum a_n$绝对收敛；若$\rho >1$，则$\sum a_n$发散。

(7)

Cauchy根式判别法：设$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\parallel a_n\parallel }=\rho$，若$\rho <1$，则$\sum a_n$绝对收敛；若$\rho >1$，则$\sum a_n$发散。

(8)

积分判别法：设$f:[1,+\mathrm{\infty })$恒正且单调递减，则$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}f(n)$收敛当且仅当${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$收敛。

(9)

Raabe判别法：设$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n(\frac{\parallel a_n\parallel }{\parallel a_{n+1}\parallel }-1)=\rho$，若$\rho >1$，则$\sum a_n$绝对收敛；若$\rho <1$，则$\sum a_n$发散。

(10)

Leibniz交错级数判别法：设$a_n\ge 0$且单调递减，则$\sum (-1{)}^n{a}_n$收敛当且仅当$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$。

(11)

Dirichlet/Abel判别法：设$\{a_n\}\subseteq V$、$\{b_n\}\subseteq \mathbb{R}$满足以下条件之一：

• Dirichlet：$A_N=\sum _{n=1}^N{a}_n$有界，$\{b_n\}$单调趋于0；
• Abel：$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$收敛，$\{b_n\}$单调有界。

则$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$收敛。

(12)

结合律：若$\sum a_n$收敛，则$\sum a_n$的结合律成立，即对于部分和序列$\{A_n\}$的任意子列$\{B_k\}$，定义$b_k=B_k-B_{k-1}$（$n>1$，$b_1=B_1$），则$\sum b_k$收敛，且$\sum b_k=\sum a_n$。

(13)

交换律：若$\sum a_n$绝对收敛，则$\sum a_n$的交换律成立，即对于${\mathbb{N}}^{\ast }$的任意排列$\sigma :{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$，$\sum a_{\sigma (n)}$收敛，且$\sum a_{\sigma (n)}=\sum a_n$。

(14)

Riemann重排定理：设$a_n\in \mathbb{R}$，若$\sum a_n$条件收敛，则对于任意实数$S$，$\mathrm{\exists }\sigma :{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$，$\sum a_{\sigma (n)}=S$。

(15)

级数乘积：设$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$、$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{b}_n$绝对收敛，则$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$绝对收敛，且$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}=\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{b}_n\right)\end{array}$$

应用

(1)

$(\mathbb{R},\parallel \cdot \parallel )$和$(\mathbb{C},\parallel \cdot \parallel )$均完备，故$\sum a_n$当且仅当$\sum a_n$的部分和数列是Cauchy列。

(2)

$\sum x^n$收敛当且仅当$|x|<1$。

(3)

设$x\in \mathbb{C}$或$x$为仿真，则$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$绝对收敛。

(4)

利用积分判别法可以证明：$\sum \frac{1}{n^p}$收敛当且仅当$p>1$；类似地，$\sum \frac{1}{n(\ln n{)}^p}$收敛当且仅当$p>1$；……

(5)

对于$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(n\ln \frac{2n+1}{2n-1}-1)$，可以证明$a_n=\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)$，故级数收敛。

(6)

设$z\in \mathbb{C}$，则$I(z)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n}$在$|z|<1$时绝对收敛，在$|z|>1$时发散。当$|z|=1$时，$I(1)$发散，利用Dirichlet判别法可以证明$I(z)$（$z\ne 1$）条件收敛。

(7)

设$z\in \mathbb{C}$，定义$\exp z=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$，则$\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C}$级数都绝对收敛，且成立$\exp z\exp w=\exp (z+w)$。

注

(1)

若$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\parallel a_n\parallel }{\parallel b_n\parallel }<+\mathrm{\infty }$，则$\parallel a_n\parallel =\mathcal{O}(\parallel b_n\parallel )$（$n\to +\mathrm{\infty }$）。

(2)

实际上可以证明：$$\begin{array}{}\text{(2)}& \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim inf}\frac{\parallel a_{n+1}\parallel }{\parallel a_n\parallel }\le \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim inf}\sqrt[n]{\parallel a_n\parallel }\le \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\sqrt[n]{\parallel a_n\parallel }\le \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{\parallel a_{n+1}\parallel }{\parallel a_n\parallel }.\end{array}$$ 故Cauchy根式判别法比D’Alembert判别法更强，但更难计算。

(3)

Raabe判别法的由来：与级数$\sum \frac{1}{n^p}$类比。设$a_n=\frac{1}{n^p}$，则$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{(n+1{)}^p}{n^p}={(1+\frac{1}{n})}^p=1+\frac{p}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)⟹p=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1).\end{array}$$

(4)

结合律等价于可以为求和式任意加括号，交换律等价于可以任意调换求和式的次序。

(5)

级数相关的知识点多且杂，我将其整理为图 11.2.1，供大家学习、参考。

11.2.3 *补充：Dirichlet逼近定理与稠密性

以下内容与本次习题课并无太大关系，仅供参考。

注 对上述证明稍加推广可得：$\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$，存在无穷多对互质的$(p,q)\in \mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}^{\ast }$使得$$\begin{array}{}\text{(8)}& 0<\alpha -\frac{p}{q}<\frac{1}{q^2}\end{array}$$ 其中对“互质”的证明如下：容易根据上述证明推知“存在无穷多对$(p,q)\in \mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}^{\ast }$满足题设”，设它们构成数列$\{(p_n,q_n){\}}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$。设$m_n=gcd(p_n,q_n)$，易证若$(p_n,q_n)$满足题设，则$({\tilde{p}}_n,{\tilde{q}}_n)=\frac{(p_n,q_n)}{m_n}$亦满足题设。

假设不“存在无穷多对互质的$(p,q)\in \mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}^{\ast }$满足题设”，则$\bigcup _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\tilde{q}}_n$是有限集，故至少存在一个$q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$（且$q>1$），使得存在无限个${\tilde{q}}_{n_k}=q$。

容易发现，若固定$q_n(>1)$，则对所有$p\in \mathbb{Z}$，有且只有$p=p_n$满足题设。故对于${\tilde{q}}_{n_k}=q$，必有${\tilde{p}}_{n_k}\equiv p$，故所有$m_{n_k}$必定互不相同，亦即$\underset{k}{sup}{m}_{n_k}=+\mathrm{\infty }$。因此$$\begin{array}{}\text{(9)}& 0<\alpha -\frac{p}{q}<\frac{1}{(m_{n_k}q{)}^2}⟹0<\alpha -\frac{p}{q}\le \frac{1}{q^2}\underset{k}{inf}\frac{1}{m_{n_k}^2}=0\end{array}$$ 矛盾！故“存在无穷多对互质的$(p,q)\in \mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}^{\ast }$满足题设”。