11.2 知识点复习
11.2.1 级数的概念
重要概念回顾
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(1)
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级数:设为线性空间,,则称为级数。
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(2)
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级数的敛散性:记级数的部分和数列为,是上的范数,则称级数收敛(于)若,级数发散若部分和数列的极限不存在。
重要定理回顾
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(1)
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级数的线性:设、收敛,则,收敛,且。
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(2)
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级数的保号性:设且恒成立,则。
应用
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(1)
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若,则是上的范数。设,若在下收敛,则其在上一致收敛。
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(2)
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设,则是上的范数。设,若在下收敛,则其在上平方收敛。
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(3)
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设上具有范数、与范数相容的乘法结构()和逆运算。定义几何级数,当时,级数收敛,且。当或时,;当时,为矩阵范数。
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(4)
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。
注
若或,则称为数项级数。
11.2.2 级数的敛散性
重要概念回顾
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(1)
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绝对收敛:称级数绝对收敛,若收敛。
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(2)
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条件收敛:称级数条件收敛,若收敛而发散。
重要定理回顾
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(1)
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Cauchy收敛准则:设完备(中的任何Cauchy列都收敛于自身),则收敛当且仅当部分和数列是Cauchy列,即,使得,。
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(2)
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如果收敛,则。
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(3)
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绝对收敛的级数必收敛。
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(4)
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比较判别法:设使得,若收敛,则收敛;若发散,则发散。
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(5)
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推广的比较判别法:若(),则当收敛时,收敛。若且,则绝对收敛当且仅当绝对收敛。
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(6)
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D’Alembert判别法:设,若,则绝对收敛;若,则发散。
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(7)
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Cauchy根式判别法:设,若,则绝对收敛;若,则发散。
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(8)
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积分判别法:设恒正且单调递减,则收敛当且仅当收敛。
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(9)
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Raabe判别法:设,若,则绝对收敛;若,则发散。
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(10)
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Leibniz交错级数判别法:设且单调递减,则收敛当且仅当。
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(11)
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Dirichlet/Abel判别法:设、满足以下条件之一:
- Dirichlet:有界,单调趋于0;
- Abel:收敛,单调有界。
则收敛。
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(12)
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结合律:若收敛,则的结合律成立,即对于部分和序列的任意子列,定义(,),则收敛,且。
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(13)
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交换律:若绝对收敛,则的交换律成立,即对于的任意排列,收敛,且。
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(14)
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Riemann重排定理:设,若条件收敛,则对于任意实数,,。
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(15)
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级数乘积:设、绝对收敛,则绝对收敛,且
应用
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(1)
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和均完备,故当且仅当的部分和数列是Cauchy列。
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(2)
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收敛当且仅当。
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(3)
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设或为仿真,则绝对收敛。
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(4)
-
利用积分判别法可以证明:收敛当且仅当;类似地,收敛当且仅当;……
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(5)
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对于,可以证明,故级数收敛。
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(6)
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设,则在时绝对收敛,在时发散。当时,发散,利用Dirichlet判别法可以证明()条件收敛。
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(7)
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设,定义,则级数都绝对收敛,且成立。
注
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(1)
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若,则()。
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(2)
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实际上可以证明:
故Cauchy根式判别法比D’Alembert判别法更强,但更难计算。
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(3)
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Raabe判别法的由来:与级数类比。设,则
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(4)
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结合律等价于可以为求和式任意加括号,交换律等价于可以任意调换求和式的次序。
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(5)
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级数相关的知识点多且杂,我将其整理为图 11.2.1,供大家学习、参考。
图 11.2.1: 级数相关知识点
11.2.3 *补充:Dirichlet逼近定理与稠密性
以下内容与本次习题课并无太大关系,仅供参考。
例 11.2.1
证明Dirichlet逼近定理:对于任意正无理数,存在无穷多对(互不相同的)正整数对,使得
证明
记表示正数的小数部分,表示其整数部分。
设,易根据的无理性证明互不相同,上述个互不相同的数均位于区间中。将此区间等分为个子区间,根据抽屉原理,至少有两个数和落入同一子区间,不妨设,则有
取,,则有
所以存在正整数对满足题设。
再取,仿照上述过程,可以找到另一对正整数对,且必有
故,即存在另一对正整数对满足题设。
同理,可以再取,不断重复以上过程。由数学归纳法可知,存在无穷多对正整数对满足题设。
注
对上述证明稍加推广可得:,存在无穷多对互质的使得
其中对“互质”的证明如下:容易根据上述证明推知“存在无穷多对满足题设”,设它们构成数列。设,易证若满足题设,则亦满足题设。
假设不“存在无穷多对互质的满足题设”,则是有限集,故至少存在一个(且),使得存在无限个。
容易发现,若固定,则对所有,有且只有满足题设。故对于,必有,故所有必定互不相同,亦即。因此
矛盾!故“存在无穷多对互质的满足题设”。
例 11.2.2
设为正无理数,证明:在上稠密,即,,,使得。
证明
由(推广的)Dirichlet逼近定理可知,存在无穷多对正整数对,使得
不妨设互质,则,故必存在使得
此时有
不论是不是整数,必有,故
因此
取即可证明在上稠密。
例 11.2.3
设集合在区间上稠密,函数连续,则亦是区间。证明:在上稠密。
证明
易知:
- ,使得。
- 连续:,,,使得,。
- 稠密:,,,使得。
故,,、、、,使得,即在上稠密。