3.2 知识点复习
3.2.1 Taylor公式
重要概念回顾
Taylor展开:设,则在处带Lagrange余项的Taylor展开为
其中却。根据的阶偏导数的连续性可得
重要定理回顾
-
(1)
-
Taylor多项式的唯一性:设,是满足的多项式,若
则是在处的阶Taylor多项式。
-
(2)
-
低阶Taylor展开:
其中是在处的Hesse矩阵。
应用
在原点附近的Taylor展开。
3.2.2 凹凸性
重要概念回顾
-
(1)
-
凸集、凸函数、严格凸函数。
-
(2)
-
凹函数、严格凹函数。
-
(3)
-
Hesse矩阵。
-
(4)
-
最大值、最大值点、最小值、最小值点。
-
(5)
-
极大值、极大值点、极小值、极小值点。
-
(6)
-
驻点:满足的点。
重要定理回顾
-
(1)
-
设,则,
- 正定严格凸;凸半正定;
- 负定严格凹;凹半负定。
-
(2)
-
设凸,则
-
(3)
-
Fermat引理:设在极值点处可微,则是的驻点。
-
(4)
-
极值判定:设,是的驻点。
- 若正(负)定,则是的极小(大)值点。
- 若非退化且既不正定也不负定,则是的鞍点。
- 若退化,则需要进一步判断,如更高阶的Taylor展开等。
-
(5)
-
条件极值:设,为在约束下的条件极值点,则存在使得是的驻点,亦即
-
(6)
-
条件极值判定:设为的驻点。
- 若在处的Hesse矩阵限制在切空间上正定,亦即
则是在给定约束下的(严格)极小值点。
- 若限制在切空间上的负定,则是在给定约束下的(严格)极大值点。
- 若限制在切空间上的非退化且既不正定也不负定,则是在给定约束下的鞍点。
- 若限制在切空间上的退化,则需要进一步判断。
应用
-
(1)
-
函数(补充定义)的极值(点)、最值(点)。
-
(2)
-
方程在原点附近确定了隐函数。
-
(3)
-
函数在约束且下的条件极值。
注
与一元微积分不同的是,设在上可微,是的唯一驻点且为严格极小值点,则不一定在处取得最小值;甚至可能无下界,如。
3.2.3 *Hesse矩阵
我们已知在任意基底下的表示,那么Hesse矩阵的表示又是怎样的呢?
定理 3.2.1
设,则在处的Hesse矩阵可表示为
注
此处的Hesse矩阵实际上是一个映射,并不依赖于坐标系;出于习惯,我们仍称其为矩阵。在证明此式时,千万不能代入和的分量表示,尤其是标准正交基——因为微分和梯度都是不依赖于坐标系的!
证明
由于,故存在(对称且关于连续的)Hesse矩阵满足
同理可得
两式相加可得
由关于的连续性可得
故有
因此
由的唯一性知。
3.2.4 *Laplace算子(1)
在的直角坐标系中,Laplace算子的定义为
一种很自然的想法是猜测
很可惜,这在绝大多数情况下是不正确的。我们来具体探讨它在什么情况下成立。
Laplace算子的标准定义为
由于Laplace算子的定义涉及散度,我们将在后续章节中详细讨论,此处我们直接给出它的表达式:
根据先前的讨论,我们有
计算可得
因此
对比和的表达式可得两者相等的充分条件:
- 为常数,与无关;
- 为单位矩阵,即。
以上两个条件限制必须为直角坐标系的正交变换。
例 3.2.2
证明Laplace算子在任意坐标系中的表达式:
证明
此处我们借助直角坐标系,采用暴力计算证明。简单起见,除了用表示以外,我们不使用上下指标,但仍采用Einstein求和约定。
设从的直角坐标系变换到任意坐标系的Jacobi矩阵为,即
代入Laplace算子的直角坐标表达式中可得
另一方面,计算可得
故原题等价于证明:
经过适当的等价变形,我们尝试证明其充分条件(去掉对的求和):
由于可逆,设,则,故(下式中已将换成)
故该充分条件等价于证明:
从此处开始不再使用Einstein求和约定。设,表示由生成的对称群,注意到
故有
固定,选择满足
亦即
容易发现这样的与是一一对应的。不妨设,则有
相当于向前移动了个单位!故有
亦同理。综上所述,我们有
即与的贡献相互抵消,故,证毕。
(未完待续)
3.2.5 *Euler-Lagrange方程
Euler-Lagrange方程是变分法的基础,它研究的是这样一类问题:
定理 3.2.3
设函数满足边界条件、,定义积分形式的泛函为
则当泛函取得极值时,满足Euler-Lagrange方程
证明
设是泛函的极值点,令,则需满足边界条件。定义函数为
对求导可得
由于是的极值点,由Fermat引理可知
式中有两个自由度,可通过分部积分消去:
结合的边界条件可得
由的任意性可得
我们举一个简单的例子。
例 3.2.4
证明:两点之间(所有的连线中),线段最短。
证明
简单起见,我们在上考虑这个问题,并设是的函数;其余情况基本同理。设两点的坐标为和,则连线的长度为
由Euler-Lagrange方程可得
因此
故为直线,即“两点之间,线段最短”。