3.2 知识点复习

3.2.1 隐函数定理

重要概念回顾

(1)

隐函数（隐映射）。

(2)

微分同胚：设$U,V$是${\mathbb{R}}^n$中的开集，称$F:U\to V$时${\mathcal{C}}^k$的微分同胚，若存在$F$的逆映射$F^{-1}:V\to U\in {\mathcal{C}}^k$。

重要定理回顾

(1)

隐函数定理(IFT)：设隐函数$F:{\mathbb{R}}^m\times {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n\in {\mathcal{C}}^k$满足$F({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)=\mathbf{0}$且${\partial }_{\mathit{y}}F({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)$可逆，则存在$({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)$的邻域$U=V\times W$和映射$g:V\to W\in {\mathcal{C}}^k$使得$F(\mathit{x},\mathit{y})=\mathbf{0}\iff \mathit{y}=g(\mathit{x})$对一切$(\mathit{x},\mathit{y})\in U$成立，且满足$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\partial }_{\mathit{x}}g(\mathit{x})=-[{\partial }_{\mathit{y}}F(\mathit{x},g(\mathit{x})){]}^{-1}{\partial }_{\mathit{x}}F(\mathit{x},g(\mathit{x}))\end{array}$$

(2)

逆映射定理(IMT)：设映射$F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m\in {\mathcal{C}}^k$，$\partial F({\mathit{x}}_0)$可逆，则存在${\mathit{x}}_0$的邻域$U$、${\mathit{y}}_0=F({\mathit{x}}_0)$的邻域$V$和可逆映射$G:U\to V\in {\mathcal{C}}^k$使得$G(F(\mathit{x}))=\mathit{x}$对一切$\mathit{x}\in U$成立，且满足$$\begin{array}{}\text{(2)}& \partial G(\mathit{y})=[\partial F(G(\mathit{y})){]}^{-1}\end{array}$$

(3)

设$U$是${\mathbb{R}}^n$中的开集，$F:U\to {\mathbb{R}}^n\in {\mathcal{C}}^k$。令$V=F(U)$，则$V$也是${\mathbb{R}}^n$中的开集且$F$是${\mathcal{C}}^k$的微分同胚当且仅当$F$是单射且$\partial F(\mathit{x})$可逆对一切$\mathit{x}\in U$成立。

应用

(1)

矩阵方程$F(t,X)=X^2+tAX-I=0$在$t=0$时确定了逆映射$X(t)$，计算可得$$\begin{array}{}\text{(3)}& X(t)=I-\frac{A}{2}t+\frac{A^2}{8}{t}^2+o(t^2)\end{array}$$

(2)

极坐标变换$(r,\theta )\to (x,y)$在${\mathbb{R}}^2\setminus \{\mathbf{0}\}$上确定了逆映射。

(3)

映射$F:(0,+\mathrm{\infty }{)}^2\to \mathbb{R}\times (0,+\mathrm{\infty }),(x_1,x_2)\mapsto (x_1^2-x_2^2,2x_1{x}_2)$是${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$的微分同胚。

3.2.2 曲线和曲面

重要概念回顾

(1)

曲线的参数化、重参数化。

(2)

曲线的切向量、切线、切空间。

(3)

曲线的法向量、法平面、法空间。

(4)

正则曲线、弧长参数、主法向量。

(5)

曲面：设$\mathrm{\Sigma }\in {\mathbb{R}}^n$，满足$\mathrm{\forall }{P}_0\in \mathrm{\Sigma }$，存在$P_0$的邻域$U\subseteq {\mathbb{R}}^n$、映射$f\in {\mathcal{C}}^r$和$1,\cdots ,n$的置换$\sigma$，使得$$\begin{array}{}\text{(4)}& \mathrm{\Sigma }=\{(x_1,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n\mid (x_{\sigma (k+1)},\cdots ,x_{\sigma (n)})=f(x_{\sigma (1)},\cdots ,x_{\sigma (k)})\}\end{array}$$ 其中$(x_{\sigma (1)},\cdots ,x_{\sigma (k)}{)}^{\mathrm{T}}\in U\in {\mathbb{R}}^k$且$U$为开集，则称$\mathrm{\Sigma }$是${\mathbb{R}}^n$中${\mathcal{C}}^r$的$k$维曲面。

(6)

经过曲面$\mathrm{\Sigma }$上一点$P_0$的曲线、曲面的切向量、切平面、切空间。

(7)

曲面的法向量、法平面、法空间。

重要定理回顾

(1)

曲线$\gamma$在$P_0$处的切空间${\mathrm{T}}_{P_0}\gamma$是1维线性空间。

(2)

曲线$\gamma$在$P_0$处的法空间${\mathrm{N}}_{P_0}\gamma$是$n-1$维线性空间。

(3)

弧长参数$l$下的曲线满足$\parallel {\gamma }^{\prime }(l)\parallel =1$和$⟨{\gamma }^{\prime }(l),{\gamma }^{″}(l)⟩=0$。

(4)

曲面的判定：设$F:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$是${\mathcal{C}}^r$的映射，称$\mathit{C}\in {\mathbb{R}}^n$是$F$的正则值，若$\partial F(P_0)$的表示矩阵行满秩对任意$P_0\in F^{-1}(\mathit{C})$成立。根据IFT，存在${\mathcal{C}}^r$的映射$g:{\mathbb{R}}^{n-m}\to {\mathbb{R}}^n$和$1,\cdots ,n$的置换$\sigma$使得$F(x_1,\cdots ,x_m)=\mathit{C}\iff (x_{\sigma (1)},\cdots ,x_{\sigma (n)})=g(x_{\sigma (n+1)},\cdots ,x_{\sigma (m)})$对一切$(x_1,\cdots ,x_m)\in {\mathbb{R}}^m$成立。由此$\mathrm{\Sigma }=F^{-1}(\mathit{C})$确定了一个${\mathbb{R}}^m$中的${\mathcal{C}}^r$的$n-m$维曲面。

(5)

曲面的参数化：设$\mathit{u}:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^k\in {\mathcal{C}}^1$满足$\mathit{u}(0)={\mathit{u}}_0$、$\mathit{x}({\mathit{u}}_0)=P_0$且$\mathit{x}(\mathit{u}(t))\in {\mathcal{C}}^1$。曲面$\mathrm{\Sigma }$的切空间的维度为$k$，满足$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\mathrm{T}}_{P_0}\mathrm{\Sigma }=\{w_1\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u_1}+\cdots +w_k\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u_k}\mid w_1,\cdots ,w_k\in \mathbb{R}\}\end{array}$$ 曲面$\mathrm{\Sigma }$的法空间的维度为$n-k$，满足$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\mathrm{N}}_{P_0}\mathrm{\Sigma }=\{P_0+w_1\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u_1}(P_0)+\cdots +w_k\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u_k}(P_0)\mid w_1,\cdots ,w_k\in \mathbb{R}\}\end{array}$$ 曲面的切空间和法空间相互正交。

应用

(1)

$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-R^2$确定了一个${\mathbb{R}}^3$中的${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$的2维曲面。

(2)

设函数$F:{\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^{n-k}$，若$F$的Jacobi矩阵的秩等于$n-k$，则方程$F(\mathit{x})=\mathbf{0}$确定了曲面$\mathrm{\Sigma }:F^{-1}(\mathbf{0})=\{\mathit{x}\in {\mathbb{R}}^{n-k}\mid F(\mathit{x})=\mathbf{0}\}$。曲面的切空间和法空间分别为$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{rl}{\mathrm{T}}_{{\mathit{x}}_0}\mathrm{\Sigma }& =\{\mathit{v}\mid \partial F({\mathit{x}}_0)\mathit{v}=0\}\\ {\mathrm{N}}_{{\mathit{x}}_0}\mathrm{\Sigma }& =\{w_1\mathrm{\nabla }{F}_1({\mathit{x}}_0)+\cdots +w_{n-k}\mathrm{\nabla }{F}_{n-k}({\mathit{x}}_0)\mid w_1,\cdots ,w_{n-k}\in \mathbb{R}\}\end{array}\end{array}$$

(3)

设映射$F:{\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^n$，若$F$的Jacobi矩阵的秩等于$k$，则参数方程$\mathit{x}=F(\mathit{u})$确定了曲面$\mathrm{\Sigma }=\{\mathit{x}\in {\mathbb{R}}^n\mid \mathit{x}=F(\mathit{u}),\mathit{u}\in U\subseteq {\mathbb{R}}^k\}$。曲面的切空间和法空间的表达形式与参数化的曲面相同。

(4)

对于$n$维空间中的$n-1$维曲面，设$\{{\mathit{v}}_1,\cdots .{\mathit{v}}_{n-1}\}$是曲面在$P_0$处的切平面的一组基，令$L:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$满足$\mathit{v}\mapsto det({\mathit{v}}_1,\cdots ,{\mathit{v}}_{n-1},\mathit{v})$，则$\pm \mathrm{\nabla }L$是曲面在$P_0$处的法向量。

注

(1)

$\gamma$在$P_0$处的切线就是$P_0+{\mathrm{T}}_{P_0}\gamma$。切空间与切线的关系就类似于线性空间和仿射空间的关系。

(2)

切向量是曲线方程的一阶Taylor近似：$\gamma (t)=\gamma (t_0)+{\gamma }^{\prime }(t_0)(t-t_0)+o(t-t_0)$。

(3)

本小节的内容高度抽象。欲知详情，请参考我的个人笔记。

3.2.3 Taylor公式

重要概念回顾 Taylor展开：设$f\in {\mathcal{C}}^r$，则$f$在${\mathit{x}}_0$处带Lagrange余项的Taylor展开为$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{rl}f({\mathit{x}}_0+\mathit{v})=f({\mathit{x}}_0)& +\sum _{k=1}^{r-1}\frac{1}{k!}\sum _{i_1,\cdots ,i_k=1}^n\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}({\mathit{x}}_0)v_{i_1}\cdots v_{i_k}\\ & +\frac{1}{r!}\sum _{i_1,\cdots ,i_r=1}^n\frac{{\partial }^{r}f}{\partial x_{i_r}\cdots \partial x_{i_1}}({\mathit{x}}_0+\theta \mathit{v})v_{i_1}\cdots v_{i_r}\end{array}\end{array}$$ 其中$\mathit{v}\to \mathbf{0}$却$\theta \in (0,1)$。根据$f$的$r$阶偏导数的连续性可得$$\begin{array}{}\text{(9)}& f({\mathit{x}}_0+\mathit{v})=\sum _{k=0}^r\frac{1}{k!}\sum _{i_1,\cdots ,i_k=1}^n\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_1}}({\mathit{x}}_0)v_{i_1}\cdots v_{i_k}+o(\parallel \mathit{v}{\parallel }^r)\end{array}$$

重要定理回顾

(1)

Taylor多项式的唯一性：设$f\in {\mathcal{C}}^r$，$f$是满足$\mathrm{deg}P\le r$的多项式，若$$\begin{array}{}\text{(10)}& f(\mathit{x})-P(\mathit{x})=o(\parallel \mathit{x}-{\mathit{x}}_0{\parallel }^r),\mathit{x}\to {\mathit{x}}_0\end{array}$$ 则$P$是$f$在${\mathit{x}}_0$处的$r$阶Taylor多项式。

(2)

低阶Taylor展开：$$\begin{array}{}\text{(11)}& f({\mathit{x}}_0+\mathit{v})=f({\mathit{x}}_0)+⟨\mathrm{\nabla }f({\mathit{x}}_0),\mathit{v}⟩+\frac{1}{2}⟨\mathit{v},H_f({\mathit{x}}_0)\mathit{v}⟩+o(\parallel \mathit{v}{\parallel }^2)\end{array}$$ 其中$H_f({\mathit{x}}_0)$是$f$在${\mathit{x}}_0$处的Hessian矩阵。

应用 $\ln (1+x+y+z)$在原点附近的Taylor展开。

3.2.4 凹凸性

重要概念回顾

(1)

凸集、凸函数、严格凸函数。

(2)

凹函数、严格凹函数。

(3)

Hessian矩阵。

(4)

最大值、最大值点、最小值、最小值点。

(5)

极大值、极大值点、极小值、极小值点。

(6)

驻点：满足$\mathrm{\nabla }f({\mathit{x}}_0)=\mathbf{0}$的点${\mathit{x}}_0$。

重要定理回顾

(1)

设$f:D\to \mathbb{R}\in {\mathcal{C}}^2$，则$\mathrm{\forall }\mathit{x}\in D$，

• $H_f(\mathit{x})$正定$\Rightarrow f$严格凸；$f$凸$\Rightarrow H_f(\mathit{x})$半正定；
• $H_f(\mathit{x})$负定$\Rightarrow f$严格凹；$f$凹$\Rightarrow H_f(\mathit{x})$半负定。

(2)

设$f:D\to \mathbb{R}\in {\mathcal{C}}^2$凸，则$$\begin{array}{}\text{(12)}& f(\mathit{x})\ge f({\mathit{x}}_0)+\partial f({\mathit{x}}_0)(\mathit{x}-{\mathit{x}}_0),\mathrm{\forall }{\mathit{x}}_0,\mathit{x}\in D\end{array}$$

(3)

Fermat引理：设$f$在极值点处可微，则${\mathit{x}}_0$是$f$的驻点。

(4)

极值判定：设$f:D\to \mathbb{R}\in {\mathcal{C}}^2$，${\mathit{x}}_0$是$f$的驻点。

• 若$H_f({\mathit{x}}_0)$正（负）定，则${\mathit{x}}_0$是$f$的极小（大）值点。
• 若$H_f({\mathit{x}}_0)$非退化且既不正定也不负定，则${\mathit{x}}_0$是$f$的鞍点。
• 若$H_f({\mathit{x}}_0)$退化，则需要进一步判断，如更高阶的Taylor展开等。

(5)

条件极值：设$f,g_1,\cdots ,g_r\in {\mathcal{C}}^1$，${\mathit{x}}^{\ast }$为$f$在约束$g_1=\cdots =g_r=0$下的条件极值点，则存在${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r\in \mathbb{R}$使得$({\mathit{x}}^{\ast },{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r)$是$F:(\mathit{x},{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r)\mapsto f(\mathit{x})-\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{g}_i(\mathit{x})$的驻点，亦即$$\begin{array}{}\text{(13)}& \mathrm{\nabla }f({\mathit{x}}^{\ast })=\sum _{i=1}^r{\lambda }_i\mathrm{\nabla }{g}_i({\mathit{x}}^{\ast })\end{array}$$

(6)

条件极值判定：设$({\mathit{x}}^{\ast },{\mathit{\lambda }}^{\ast })$为$F$的驻点。

• 若$F$在$({\mathit{x}}^{\ast },{\mathit{\lambda }}^{\ast })$处的Hessian矩阵$H$限制在切空间${\mathrm{T}}_{{\mathit{x}}^{\ast }}(\mathrm{\Sigma })$上正定，亦即$$\begin{array}{}\text{(14)}& ⟨\mathit{v},H\mathit{v}⟩>0,\mathrm{\forall }\mathit{v}\in {\mathrm{T}}_{{\mathit{x}}^{\ast }}(\mathrm{\Sigma })\setminus \{\mathbf{0}\}\end{array}$$ 则${\mathit{x}}^{\ast }$是$f$在给定约束下的（严格）极小值点。
• 若限制在切空间上的$H$负定，则${\mathit{x}}^{\ast }$是$f$在给定约束下的（严格）极大值点。
• 若限制在切空间上的$H$非退化且既不正定也不负定，则${\mathit{x}}^{\ast }$是$f$在给定约束下的鞍点。
• 若限制在切空间上的$H$退化，则需要进一步判断。

应用

(1)

函数$f(x,y)=xy\ln (x^2+y^2)$（补充定义$f(0,0)=0$）的极值（点）、最值（点）。

(2)

方程$F(x,y,z)=x(1+yz)+\exp (x+y+z)-1=0$在原点附近确定了隐函数$z=f(x,y)$。

(3)

函数$f(x,y,z)=xy+yz+xz$在约束$x,y,z>0$且$xyz=1$下的条件极值。

注 与一元微积分不同的是，设$f:D\to \mathbb{R}$在$D\subseteq {\mathbb{R}}^n$上可微，${\mathit{x}}^{\ast }$是$f$的唯一驻点且为严格极小值点，则$f$不一定在${\mathit{x}}^{\ast }$处取得最小值；$f$甚至可能无下界，如$f(x,y)={\mathrm{e}}^{3x}+y^3-3y{\mathrm{e}}^x$。

3.2.5 含参定积分

重要概念回顾 含参积分：$F(\mathit{y}):={\int }_a^{b}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$，其中$\mathit{y}$为参数。

重要定理回顾

(1)

连续性：设${\mathit{y}}_0\in U\subseteq {\mathbb{R}}^n$，函数$f:[a,b]\times U\to \mathbb{R}$满足

• $\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$，$f(\cdot ,\mathit{y})\in \mathcal{C}([a,b])$；
• $f(x,\mathit{y})$在${\mathit{y}}_0$处关于$\mathit{y}$连续，且对$x$一致，即$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，$\mathrm{\exists }\delta (\epsilon )>0$使得$\mathrm{\forall }x\in [a,b]$、$\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$，$\parallel \mathit{y}-{\mathit{y}}_0\parallel <\delta (\epsilon )\Rightarrow |f(x,\mathit{y})-f(x,{\mathit{y}}_0)|<\epsilon$。

则${\int }_a^{b}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$在${\mathit{y}}_0$处关于$\mathit{y}$连续。

(2)

连续性的推论1：设$U\in {\mathbb{R}}^n$为开集（闭集），$f:[a,b]\times U\to \mathbb{R}$关于$(x,\mathit{y})$连续，则${\int }_a^{b}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$关于$\mathit{y}$连续。

(3)

连续性的推论2：若$f$满足$\mathrm{\forall }\mathit{y}\in U$都有$f(\cdot ,\mathit{y})\in \mathcal{R}[a,b]$¹且$\mathrm{\forall }k$都有$\frac{\partial f}{\partial y_k}$有界，则${\int }_a^{b}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x$关于$\mathit{y}$连续。

(4)

偏导数：若$f$满足$\mathrm{\forall }k$都有$\frac{\partial f}{\partial y_k}(x,\mathit{y})$关于$(x,\mathit{y})$连续，则$F\in {\mathcal{C}}^1$且满足$$\begin{array}{}\text{(15)}& \frac{\partial }{\partial y_k}{\int }_a^{b}f(x,\mathit{y})\mathrm{d}x=\frac{\partial F}{\partial y_k}={\int }_a^b\frac{\partial f}{\partial y_k}(x,\mathit{y})\mathrm{d}x\end{array}$$

(5)

高阶偏导数：设$f$关于$\mathit{y}$的所有$k$阶偏导数都关于$(x,\mathit{y})$连续，则$F\in {\mathcal{C}}^k$，且$$\begin{array}{}\text{(16)}& \frac{{\partial }^{k}F}{\partial y_{i_k}\cdots \partial y_{i_1}}(\mathit{y})={\int }_a^b\frac{{\partial }^{k}f}{\partial y_{i_k}\cdots \partial y_{i_1}}(x,\mathit{y})\mathrm{d}x\end{array}$$

(6)

积分换序：设$f:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb{R}$连续，则$F(y):={\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x$满足$$\begin{array}{}\text{(17)}& {\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y\end{array}$$

应用

(1)

判断${\int }_0^1\cos (xy)\mathrm{d}x$的连续性并计算。

(2)

计算${\int }_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln x}\mathrm{d}x$。

(3)

利用变分法证明：两点之间，线段最短。

3.2.6 *Hessian矩阵

我们已知$\mathrm{\nabla }$在任意基底下的表示，那么Hessian矩阵的表示又是怎样的呢？

注 此处的Hessian矩阵实际上是一个映射${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$，并不依赖于坐标系；出于习惯，我们仍称其为矩阵。在证明此式时，千万不能代入$\partial$和$\mathrm{\nabla }f$的分量表示，尤其是标准正交基——因为微分和梯度都是不依赖于坐标系的！

3.2.7 *Laplace算子(1)

在${\mathbb{R}}^n$的直角坐标系中，Laplace算子的定义为$$\begin{array}{}\text{(25)}& \mathrm{\Delta }=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}\end{array}$$ 一种很自然的想法是猜测$$\begin{array}{}\text{(26)}& \mathrm{\Delta }f(\mathit{x})\stackrel{?}{=}\mathrm{tr}{H}_f(\mathit{x})\end{array}$$ 很可惜，这在绝大多数情况下是不正确的。我们来具体探讨它在什么情况下成立。

Laplace算子的标准定义为$$\begin{array}{}\text{(27)}& \mathrm{\Delta }f=\mathrm{div}\mathrm{grad}f\end{array}$$ 由于Laplace算子的定义涉及散度，我们将在后续章节中详细讨论，此处我们直接给出它的表达式：$$\begin{array}{}\text{(28)}& \mathrm{\Delta }f=\frac{1}{\sqrt{detG}}\frac{\partial }{\partial x^i}\left(\sqrt{detG}{g}^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j}\right)\end{array}$$ 根据先前的讨论，我们有$$\begin{array}{}\text{(29)}& [H_f(\mathit{v}){]}^k=[\partial (\mathrm{\nabla }f)(\mathit{v}){]}^k={\partial }_j(\mathrm{\nabla }{f}^k){\xi }^j={\partial }_j(g^{kl}{\partial }_{l}f){\xi }^j\end{array}$$ 计算可得$$\begin{array}{}\text{(30)}& ⟨\mathit{v},H_f(\mathit{v})⟩={\xi }^i⟨{\mathit{v}}_i,{\mathit{v}}_k⟩[H_f(\mathit{v}){]}^k={\xi }^i{g}_{ik}{\partial }_j(g^{kl}{\partial }_{l}f){\xi }^j\Rightarrow (H_f{)}_{ij}=g_{ik}{\partial }_j(g^{kl}{\partial }_{l}f)\end{array}$$ 因此$$\begin{array}{}\text{(31)}& \mathrm{tr}{H}_f=(H_f{)}_{ii}=g_{ik}{\partial }_i(g^{kl}{\partial }_{l}f)=g_{ik}\frac{\partial }{\partial x^i}\left(g^{kj}\frac{\partial f}{\partial x^j}\right)\end{array}$$ 对比$\mathrm{\Delta }f$和$\mathrm{tr}{H}_f$的表达式可得两者相等的充分条件：

• $detG$为常数，与$x^i$无关；
• $G$为单位矩阵，即$g_{ij}={\delta }_{ij}$。

以上两个条件限制$(x^1,\cdots ,x^n)$必须为直角坐标系的正交变换。（未完待续）

3.2.8 *Euler-Lagrange方程

Euler-Lagrange方程是变分法的基础，它研究的是这样一类问题：

我们举一个简单的例子。