7 重积分

1 多元函数极限、连续 1.1 课程介绍 1.1.1 自我介绍 1.1.2 怎样学好微积分 1.1.3 工具推荐 1.2 知识点复习 1.2.1 距离 1.2.2 极限 1.2.3 连续映射与函数 1.2.4 映射与函数的极限 1.2.5 *范数诱导距离、内积诱导范数 1.2.6 *点集拓扑初步(1) 1.2.7 *点集拓扑初步(2) 1.3 习题课讲解 1.3.1 多元函数极限的多种形式 1.3.2 累次极限与重极限 1.3.3 极限与连续的性质 2 微分、偏导数、梯度、方向导数 2.1 第1次作业评讲 2.1.1 概念和计算部分 2.1.2 解答和证明部分 2.2 知识点复习 2.2.1 大O和小o 2.2.2 可导与可微 2.2.3 偏导数 2.2.4 梯度 2.2.5 高阶偏导数 2.2.6 *协变与逆变 2.2.7 *曲面坐标系(1) 2.2.8 *全微分与梯度 2.2.9 *线性映射的伴随 2.3 习题课讲解 2.3.1 大O和小o 2.3.2 多元函数的可微性 2.3.3 微分与偏导数 2.3.4 微分与原函数 2.3.5 微分与梯度、方向导数 2.3.6 与微分有关的证明题 3 高阶偏导数、Taylor展开、极值、函数凹凸性 3.1 第2次作业评讲 3.1.1 概念和计算部分 3.1.2 解答和证明部分 3.2 知识点复习 3.2.1 Taylor公式 3.2.2 凹凸性 3.2.3 *Hesse矩阵 3.2.4 *Laplace算子(1) 3.2.5 *Euler-Lagrange方程 3.3 习题课讲解 3.3.1 高阶偏导数 3.3.2 Taylor展开 3.3.3 极值与函数凹凸性 3.3.4 与极值有关的证明题(1) 4 隐函数与逆映射、空间曲面与曲线 4.1 第3次作业评讲 4.1.1 概念和计算部分 4.1.2 解答和证明部分 4.2 知识点复习 4.2.1 隐函数定理 4.2.2 再谈隐函数定理 4.2.3 曲线和曲面 4.2.4 再谈曲线和曲面 (1)：空间曲面的表达式 4.2.5 再谈曲线和曲面 (2)：空间曲线的切线与法平面 4.2.6 再谈曲线和曲面 (3)：总结 4.2.7 *向量的向量积 4.2.8 *一阶线性偏微分方程的通解法和特征线法 4.2.9 *二阶线性偏微分方程的分类与标准式 4.3 习题课讲解 4.3.1 隐函数定理 4.3.2 隐函数定理的几何应用 4.3.3 与隐函数定理有关的证明题 4.3.4 杂题 5 极值与条件极值 5.1 第4次作业评讲 5.1.1 概念和计算部分 5.1.2 解答和证明部分 5.2 知识点复习 5.2.1 再谈极值 5.2.2 再谈条件极值 5.2.3 隐函数的极值 5.3 习题课讲解 5.3.1 计算极值 5.3.2 计算条件极值 5.3.3 与极值有关的证明题(2) 5.4 静态优化 5.4.1 无约束的静态优化 5.4.2 带等式约束的静态优化 5.4.3 带不等式约束的静态优化 5.4.4 静态规划的 Big Picture 5.5 动态优化 5.5.1 变分法 5.5.2 动态系统 6 含参积分 6.1 期中样卷评讲 6.1.1 填空题 6.1.2 解答题 6.2 知识点复习 6.2.1 含参定积分 6.2.2 含参广义积分 6.2.3 一致收敛的判定 6.3 习题课讲解 6.3.1 计算含参积分的导数 6.3.2 计算含参积分 6.3.3 与含参积分有关的证明题 7 重积分 7.1 第5次作业评讲 7.2 知识点复习 7.2.1 一元定积分回顾 7.2.2 重积分的概念 7.2.3 重积分的计算 7.2.4 重积分的换元 7.2.5 补充：利用不等式方法确定积分域和积分限 7.2.6 补充：三维空间中的重积分计算 7.3 习题课讲解 7.3.1 确定积分区域的不等式表达、累次积分 7.3.2 重积分换元 7.3.3 *重积分在概率中的应用 8 第一型曲线和曲面积分、第二型曲线积分 8.1 第6次作业评讲 8.2 知识点复习 8.2.1 第一型曲线积分 8.2.2 第一型曲面积分 8.2.3 第二型曲线积分 8.3 习题课讲解 8.3.1 第一型曲线和曲面积分 8.3.2 第二型曲线积分 9 Green公式、第二型曲面积分 9.1 第7次作业评讲 9.2 知识点复习 9.2.1 Green公式 9.2.2 恰当方程与积分因子 9.2.3 第二型曲面积分 9.3 习题课讲解 9.3.1 Green公式 9.3.2 恰当方程与积分因子 9.3.3 第二型曲面积分 9.3.4 曲面积分中的坐标变换 10 Gauss公式、Stokes公式 10.1 知识点复习 10.1.1 向量场的旋度和散度、Gauss公式、Stokes公式 10.1.2 曲线、曲面积分小结 10.1.3 *曲面坐标系(2) 10.1.4 *向量分析 10.1.5 *Helmholtz分解 10.2 习题课讲解 10.2.1 Gauss公式 10.2.2 Stokes公式 10.2.3 *Gauss公式在物理中的应用 11 级数 11.1 第8次作业评讲 11.2 知识点复习 11.2.1 级数的概念 11.2.2 级数的敛散性 11.2.3 *补充：Dirichlet逼近定理与稠密性 11.3 习题课讲解 11.3.1 级数求和的初等方法 11.3.2 级数的敛散性 11.3.3 绝对收敛的性质 12 函数项级数 12.1 第9次作业评讲 12.2 知识点复习 12.2.1 函数项数列 12.2.2 函数项级数 12.2.3 幂级数 12.2.4 用幂级数解微分方程 12.3 习题课讲解 12.3.1 收敛域、和函数 12.3.2 幂级数及其收敛半径、收敛区间和收敛域 12.3.3 通过幂级数求和 12.3.4 初等函数的幂级数展开、Taylor级数 12.3.5 用幂级数解微分方程 13 Fourier级数 13.1 第10次作业评讲 13.2 知识点复习 13.2.1 Fourier级数 13.2.2 Fourier级数的收敛性 13.2.3 *Fourier变换 13.2.4 *Fourier变换的性质 13.3 习题课讲解 13.3.1 Fourier级数 13.3.2 *正交多项式 13.3.3 *Fourier变换的应用

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Chapter 7
重积分

2024年4月24日，2025年4月15日。

5.3.2 计算条件极值
5.3.3 与极值有关的证明题(2)

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