4.2 知识点复习

4.2.1 隐函数定理

重要概念回顾

(1)

隐函数（隐映射）。

(2)

微分同胚：设$U,V$是${\mathbb{R}}^n$中的开集，称$F:U\to V$时${\mathcal{C}}^k$的微分同胚，若存在$F$的逆映射$F^{-1}:V\to U\in {\mathcal{C}}^k$。

重要定理回顾

(1)

隐函数定理(IFT)：设隐函数$F:{\mathbb{R}}^m\times {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n\in {\mathcal{C}}^k$满足$F({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)=\mathbf{0}$且${\partial }_{\mathit{y}}F({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)$可逆，则存在$({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)$的邻域$U=V\times W$和映射$g:V\to W\in {\mathcal{C}}^k$使得$F(\mathit{x},\mathit{y})=\mathbf{0}⟺\mathit{y}=g(\mathit{x})$对一切$(\mathit{x},\mathit{y})\in U$成立，且满足$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\partial }_{\mathit{x}}g(\mathit{x})=-[{\partial }_{\mathit{y}}F(\mathit{x},g(\mathit{x})){]}^{-1}{\partial }_{\mathit{x}}F(\mathit{x},g(\mathit{x}))\end{array}$$

(2)

逆映射定理(IMT)：设映射$F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m\in {\mathcal{C}}^k$，$\partial F({\mathit{x}}_0)$可逆，则存在${\mathit{x}}_0$的邻域$U$、${\mathit{y}}_0=F({\mathit{x}}_0)$的邻域$V$和可逆映射$G:U\to V\in {\mathcal{C}}^k$使得$G(F(\mathit{x}))=\mathit{x}$对一切$\mathit{x}\in U$成立，且满足$$\begin{array}{}\text{(2)}& \partial G(\mathit{y})=[\partial F(G(\mathit{y})){]}^{-1}\end{array}$$

(3)

设$U$是${\mathbb{R}}^n$中的开集，$F:U\to {\mathbb{R}}^n\in {\mathcal{C}}^k$。令$V=F(U)$，则$V$也是${\mathbb{R}}^n$中的开集且$F$是${\mathcal{C}}^k$的微分同胚当且仅当$F$是单射且$\partial F(\mathit{x})$可逆对一切$\mathit{x}\in U$成立。

应用

(1)

矩阵方程$F(t,X)=X^2+tAX-I=0$在$t=0$时确定了逆映射$X(t)$，计算可得$$\begin{array}{}\text{(3)}& X(t)=I-\frac{A}{2}t+\frac{A^2}{8}{t}^2+o(t^2)\end{array}$$

(2)

极坐标变换$(r,\theta )\to (x,y)$在${\mathbb{R}}^2\setminus \{\mathbf{0}\}$上确定了逆映射。

(3)

映射$F:(0,+\mathrm{\infty }{)}^2\to \mathbb{R}\times (0,+\mathrm{\infty }),(x_1,x_2)\mapsto (x_1^2-x_2^2,2x_1{x}_2)$是${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$的微分同胚。

4.2.2 再谈隐函数定理

隐函数定理：

• 条件：特解、特解处线性近似方程非退化（对因变量的Jacobi矩阵可逆）。
• 结论：隐函数的局部存在性、唯一性、可微性，导数计算公式（链式法则）。

这里我们不推荐大家记忆隐函数定理中求隐函数导数（偏导数）的公式，而推荐大家熟练运用链式法则（或全微分）：$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{rl}0& ={\partial }_{\mathit{x}}[F(\mathit{x},g(\mathit{x}))]={\partial }_{\mathit{x}}F(\mathit{x},g(\mathit{x}))+{\partial }_{y}F(\mathit{x},g(\mathit{x})){\partial }_{\mathit{x}}g(\mathit{x})\\ ⟹{\partial }_{\mathit{x}}g(\mathit{x})& =-[{\partial }_{\mathit{y}}F(\mathit{x},g(\mathit{x})){]}^{-1}{\partial }_{\mathit{x}}F(\mathit{x},g(\mathit{x}))\end{array}\end{array}$$

4.2.3 曲线和曲面

重要概念回顾

(1)

曲线的参数化、重参数化。

(2)

曲线的切向量、切线、切空间。

(3)

曲线的法向量、法平面、法空间。

(4)

正则曲线、弧长参数、主法向量。

(5)

曲面：设$\mathrm{\Sigma }\in {\mathbb{R}}^n$，满足$\mathrm{\forall }{P}_0\in \mathrm{\Sigma }$，存在$P_0$的邻域$U\subseteq {\mathbb{R}}^n$、映射$f\in {\mathcal{C}}^r$和$1,\cdots ,n$的置换$\sigma$，使得$$\begin{array}{}\text{(5)}& \mathrm{\Sigma }=\{(x_1,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n\mid (x_{\sigma (k+1)},\cdots ,x_{\sigma (n)})=f(x_{\sigma (1)},\cdots ,x_{\sigma (k)})\}\end{array}$$ 其中$(x_{\sigma (1)},\cdots ,x_{\sigma (k)}{)}^{\mathrm{T}}\in U\in {\mathbb{R}}^k$且$U$为开集，则称$\mathrm{\Sigma }$是${\mathbb{R}}^n$中${\mathcal{C}}^r$的$k$维曲面。

(6)

经过曲面$\mathrm{\Sigma }$上一点$P_0$的曲线、曲面的切向量、切平面、切空间。

(7)

曲面的法向量、法平面、法空间。

重要定理回顾

(1)

曲线$\gamma$在$P_0$处的切空间${\mathrm{T}}_{P_0}\gamma$是1维线性空间。

(2)

曲线$\gamma$在$P_0$处的法空间${\mathrm{N}}_{P_0}\gamma$是$n-1$维线性空间。

(3)

弧长参数$l$下的曲线满足$\parallel {\gamma }^{\prime }(l)\parallel =1$和$⟨{\gamma }^{\prime }(l),{\gamma }^{″}(l)⟩=0$。

(4)

曲面的判定：设$F:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$是${\mathcal{C}}^r$的映射，称$\mathit{C}\in {\mathbb{R}}^n$是$F$的正则值，若$\partial F(P_0)$的表示矩阵行满秩对任意$P_0\in F^{-1}(\mathit{C})$成立。根据IFT，存在${\mathcal{C}}^r$的映射$g:{\mathbb{R}}^{n-m}\to {\mathbb{R}}^n$和$1,\cdots ,n$的置换$\sigma$使得$F(x_1,\cdots ,x_m)=\mathit{C}⟺(x_{\sigma (1)},\cdots ,x_{\sigma (n)})=g(x_{\sigma (n+1)},\cdots ,x_{\sigma (m)})$对一切$(x_1,\cdots ,x_m)\in {\mathbb{R}}^m$成立。由此$\mathrm{\Sigma }=F^{-1}(\mathit{C})$确定了一个${\mathbb{R}}^m$中的${\mathcal{C}}^r$的$n-m$维曲面。

(5)

曲面的参数化：设$\mathit{u}:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^k\in {\mathcal{C}}^1$满足$\mathit{u}(0)={\mathit{u}}_0$、$\mathit{x}({\mathit{u}}_0)=P_0$且$\mathit{x}(\mathit{u}(t))\in {\mathcal{C}}^1$。曲面$\mathrm{\Sigma }$的切空间的维度为$k$，满足$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\mathrm{T}}_{P_0}\mathrm{\Sigma }=\{w_1\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u_1}+\cdots +w_k\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u_k}\mid w_1,\cdots ,w_k\in \mathbb{R}\}\end{array}$$ 曲面$\mathrm{\Sigma }$的法空间的维度为$n-k$，满足$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\mathrm{N}}_{P_0}\mathrm{\Sigma }=\{P_0+w_1\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u_1}(P_0)+\cdots +w_k\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u_k}(P_0)\mid w_1,\cdots ,w_k\in \mathbb{R}\}\end{array}$$ 曲面的切空间和法空间相互正交。

应用

(1)

$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-R^2$确定了一个${\mathbb{R}}^3$中的${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$的2维曲面。

(2)

设函数$F:{\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^{n-k}$，若$F$的Jacobi矩阵的秩等于$n-k$，则方程$F(\mathit{x})=\mathbf{0}$确定了曲面$\mathrm{\Sigma }:F^{-1}(\mathbf{0})=\{\mathit{x}\in {\mathbb{R}}^{n-k}\mid F(\mathit{x})=\mathbf{0}\}$。曲面的切空间和法空间分别为$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{rl}{\mathrm{T}}_{{\mathit{x}}_0}\mathrm{\Sigma }& =\{\mathit{v}\mid \partial F({\mathit{x}}_0)\mathit{v}=0\}\\ {\mathrm{N}}_{{\mathit{x}}_0}\mathrm{\Sigma }& =\{w_1\mathrm{\nabla }{F}_1({\mathit{x}}_0)+\cdots +w_{n-k}\mathrm{\nabla }{F}_{n-k}({\mathit{x}}_0)\mid w_1,\cdots ,w_{n-k}\in \mathbb{R}\}\end{array}\end{array}$$

(3)

设映射$F:{\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^n$，若$F$的Jacobi矩阵的秩等于$k$，则参数方程$\mathit{x}=F(\mathit{u})$确定了曲面$\mathrm{\Sigma }=\{\mathit{x}\in {\mathbb{R}}^n\mid \mathit{x}=F(\mathit{u}),\mathit{u}\in U\subseteq {\mathbb{R}}^k\}$。曲面的切空间和法空间的表达形式与参数化的曲面相同。

(4)

对于$n$维空间中的$n-1$维曲面，设$\{{\mathit{v}}_1,\cdots .{\mathit{v}}_{n-1}\}$是曲面在$P_0$处的切平面的一组基，令$L:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$满足$\mathit{v}\mapsto det({\mathit{v}}_1,\cdots ,{\mathit{v}}_{n-1},\mathit{v})$，则$\pm \mathrm{\nabla }L$是曲面在$P_0$处的法向量。

注

(1)

$\gamma$在$P_0$处的切线就是$P_0+{\mathrm{T}}_{P_0}\gamma$。切空间与切线的关系就类似于线性空间和仿射空间的关系。

(2)

切向量是曲线方程的一阶Taylor近似：$\gamma (t)=\gamma (t_0)+{\gamma }^{\prime }(t_0)(t-t_0)+o(t-t_0)$。

(3)

本小节的内容高度抽象。欲知详情，请参考我的个人笔记。

4.2.4 再谈曲线和曲面 (1)：空间曲面的表达式

空间曲面都可以通过下面两种形式表示¹。此处我们以最常见的${\mathbb{R}}^3$中的${\mathbb{R}}^2$曲面为例。

方程表示（又称水平集）

$F(x,y,z)=0$，其中$F_x,F_y,F_z$中至少有一个非零。

对于曲面上的光滑曲线$\mathit{x}(t):=(x(t),y(t),z(t){)}^{\mathrm{T}}$，设${\mathit{x}}_0=\mathit{x}(t_0)$，求导可得$$\begin{array}{}\text{(9)}& 0=F(x(t),y(t),z(t))⟹0={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F(x(t),y(t),z(t))|}_{t=t_0}=\mathrm{\nabla }F({\mathit{x}}_0)\cdot {\mathit{x}}^{\prime }(t_0)\end{array}$$ 即曲面在${\mathit{x}}_0$处的切向量总与$F$在${\mathit{x}}_0$处的梯度向量正交。

对曲面上的点${\mathit{x}}_0$，$\mathrm{\nabla }F({\mathit{x}}_0)$是曲面的法向量，故切平面方程为$$\begin{array}{}\text{(10)}& \mathrm{\nabla }F({\mathit{x}}_0)\cdot (\mathit{x}-{\mathit{x}}_0)=\mathrm{d}F({\mathit{x}}_0)(\mathit{x}-{\mathit{x}}_0)=0\end{array}$$ 法线方程可以写成参数形式$$\begin{array}{}\text{(11)}& \mathit{x}={\mathit{x}}_0+t\mathrm{\nabla }F({\mathit{x}}_0),t\in \mathbb{R}\end{array}$$ 或比例形式（直线的点—向式方程）²$$\begin{array}{}\text{(12)}& \frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}\end{array}$$

参数方程表示（又称参数曲面）

$\mathit{x}(u,v):=(x(u,v),y(u,v),z(u,v){)}^{\mathrm{T}}$，其中$(u,v)\in D\subseteq {\mathbb{R}}^2$，且$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}$中至少有一个可逆。

对于曲面上的光滑曲线$\mathit{x}(t):=\mathit{x}(u(t),v(t))$，设${\mathit{x}}_0=\mathit{x}(t_0)$，求导可得$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\mathit{x}}^{\prime }(t_0)={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathit{x}(u(t),v(t))|}_{t=t_0}={\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u}|}_{\mathit{x}={\mathit{x}}_0}{u}^{\prime }(t_0)+{\frac{\partial \mathit{x}}{\partial v}|}_{\mathit{x}={\mathit{x}}_0}{v}^{\prime }(t_0)\end{array}$$ 因此曲面在${\mathit{x}}_0$处的切空间是由向量$\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u}$和$\frac{\partial \mathit{x}}{\partial v}$（在${\mathit{x}}_0$处的值）张成的线性空间，切平面方程为$$\begin{array}{}\text{(14)}& \mathit{x}={\mathit{x}}_0+\xi {\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u}|}_{\mathit{x}={\mathit{x}}_0}+\eta {\frac{\partial \mathit{x}}{\partial v}|}_{\mathit{x}={\mathit{x}}_0},\xi ,\eta \in \mathbb{R}\end{array}$$ 或写成$$\begin{array}{}\text{(15)}& \left|\begin{array}{ccc}x-x_0& x_u(u_0,v_0)& x_v(u_0,v_0)\\ y-y_0& y_u(u_0,v_0)& y_v(u_0,v_0)\\ z-z_0& z_u(u_0,v_0)& z_v(u_0,v_0)\end{array}\right|=0\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(16)}& det\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}(x-x_0)+det\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}(y-y_0)+det\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}(z-z_0)=0\end{array}$$

因此，在直角坐标系下，曲面的法向量为$$\begin{array}{}\text{(17)}& {(det\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},det\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)},det\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)})}^{\mathrm{T}}\end{array}$$ 法线方程也可以仿照前面的讨论写出，有参数形式和比例形式。

借助向量积，曲面的法向量可以表示为$\frac{\partial \mathit{x}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathit{x}}{\partial v}$。

4.2.5 再谈曲线和曲面 (2)：空间曲线的切线与法平面

我们仍以最常见的${\mathbb{R}}^3$中的曲线为例。给定曲线的参数化表示$\mathit{x}(t):=(x(t),y(t),z(t){)}^{\mathrm{T}}$，设${\mathit{x}}_0=\mathit{x}(t_0)$，则曲线在点${\mathit{x}}_0$处的切向量为${\mathit{x}}^{\prime }(t_0)$，切线方程为$$\begin{array}{}\text{(18)}& \mathit{x}={\mathit{x}}_0+\xi {\mathit{x}}^{\prime }(t_0),\xi \in \mathbb{R}\end{array}$$ 因此法平面为$$\begin{array}{}\text{(19)}& {\mathit{x}}^{\prime }(t_0)\cdot (\mathit{x}-{\mathit{x}}_0)=x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0\end{array}$$

曲线的另一种表达方式为两个曲面的交，即$$\begin{array}{}\text{(20)}& \{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}\end{array}$$ 其中$\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y,z)}$行满秩。曲线的切线方程由两个曲面的切平面方程联立而得，即为$$\begin{array}{}\text{(21)}& \{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }F\cdot (\mathit{x}-{\mathit{x}}_0)=0\\ \mathrm{\nabla }G\cdot (\mathit{x}-{\mathit{x}}_0)=0\end{array}\end{array}$$ 由此可见法空间是二维空间，由$\mathrm{\nabla }F$和$\mathrm{\nabla }G$张成，所以法平面方程为$$\begin{array}{}\text{(22)}& \left|\begin{array}{ccc}x-x_0& F_x(x_0,y_0,z_0)& G_x(x_0,y_0,z_0)\\ y-y_0& F_y(x_0,y_0,z_0)& G_y(x_0,y_0,z_0)\\ z-z_0& F_z(x_0,y_0,z_0)& G_z(x_0,y_0,z_0)\end{array}\right|=0\end{array}$$

借助向量积，曲线的切向量可以表示为$\mathrm{\nabla }F\times \mathrm{\nabla }G$。

4.2.6 再谈曲线和曲面 (3)：总结

以下是三维空间中的曲线和曲面总结：

无论采用哪种形式，切平面（切线）方程都可以通过一阶Taylor展开得到。

4.2.7 *向量的向量积

向量的向量积（叉乘）仅在3维空间³中有定义，为$$\begin{array}{}\text{(23)}& \mathit{a}\times \mathit{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathit{i}& \mathit{j}& \mathit{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=\left(\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right)\end{array}$$

向量积的几何意义是：$\mathit{a}\times \mathit{b}$是与$\mathit{a}$和$\mathit{b}$都垂直的向量，且$\mathit{a},\mathit{b},\mathit{a}\times \mathit{b}$构成右手坐标系，其大小为$$\begin{array}{}\text{(24)}& |\mathit{a}\times \mathit{b}|=|\mathit{a}||\mathit{b}|\sin \theta \end{array}$$ 恰为由$\mathit{a}$和$\mathit{b}$张成的平行四边形的面积，其中$\theta$为$\mathit{a},\mathit{b}$之间的夹角。容易证明：对于${\mathbb{R}}^3$中向量$\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c}$张成的平行六面体，其体积为$$\begin{array}{}\text{(25)}& V=|\mathit{a}\cdot (\mathit{b}\times \mathit{c})|=|det(\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c})]|\end{array}$$ 因此向量积的主要应用是计算平行四边形或三角形的面积，以及计算平面的法向量。

(a) 向量积的几何意义

(b) 右手坐标系

向量积满足以下性质：

(1)

反交换律：$\mathit{a}\times \mathit{b}=-\mathit{b}\times \mathit{a}$；

(2)

分配律：$\mathit{a}\times (\mathit{b}+\mathit{c})=\mathit{a}\times \mathit{b}+\mathit{a}\times \mathit{c}$；

(3)

与数乘的结合律：$(\lambda \mathit{a})\times \mathit{b}=\mathit{a}\times (\lambda \mathit{b})=\lambda (\mathit{a}\times \mathit{b})$；

(4)

与向量加法的结合律：$\mathit{a}\times (\mathit{b}+\mathit{c})=\mathit{a}\times \mathit{b}+\mathit{a}\times \mathit{c}$；

(5)

与向量的点积的关系：$\mathit{a}\times (\mathit{b}\times \mathit{c})=(\mathit{a}\cdot \mathit{c})\mathit{b}-(\mathit{a}\cdot \mathit{b})\mathit{c}$。

(6)

与向量的混合积的关系：$\mathit{a}\cdot (\mathit{b}\times \mathit{c})=\mathit{b}\cdot (\mathit{c}\times \mathit{a})=\mathit{c}\cdot (\mathit{a}\times \mathit{b})$。

4.2.8 *一阶线性偏微分方程的通解法和特征线法

设$\mathit{x}=(x_1,\cdots ,x_n)\in V\subseteq {\mathbb{R}}^n$，函数$u:\mathit{x}\mapsto u(x_1,\cdots ,x_n)$，则一个微分方程指的是联系未知函数$u$和它的（偏）导数的方程，一般具有如下形式：$$\begin{array}{}\text{(26)}& F(\mathit{x},u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\cdots ,\frac{\partial u}{\partial x_n},\cdots ,\frac{{\partial }^{m_1+\cdots +m_n}u}{\partial x_1^{m_1}\cdots \partial x_n^{m_n}})=0\end{array}$$ 其中$V$称为方程的求解域。常微分方程(ODE)是指未知函数为单变量函数的方程；偏微分方程(PDE)是指未知函数为多变量函数的方程；线性方程是指$F$为线性函数的方程，具有形式$\mathcal{L}u=f$，其中$\mathcal{L}$为线性微分算子；若$\mathcal{L}u=0$则称为齐次方程。方程组出现的未知函数（偏）导数的最高阶数称为方程的阶。

设在空间$V\subseteq {\mathbb{R}}^n$内方程$$\begin{array}{}\text{(27)}& F(\mathit{x},u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\cdots ,\frac{\partial u}{\partial x_n},\cdots ,\frac{{\partial }^{m_1+\cdots +m_n}u}{\partial x_1^{m_1}\cdots \partial x_n^{m_n}})=0\end{array}$$ 有解$u=u(\mathit{x})$且$u$具有方程中出现的各阶连续偏导数，则称其为方程的古典解。$m$阶方程含有$m$个任意函数的解称为方程的通解，不含任意函数或任意常数的解称为方程的一个特解。

一般地，一阶线性偏微分方程具有下面的形式$$\begin{array}{}\text{(28)}& \sum _{i=1}^n{a}_i(x_1,\cdots ,x_n)\frac{\partial u}{\partial x_i}+p(x_1,\cdots ,x_n)u=q(x_1,\cdots ,x_n)\end{array}$$ 当一阶线性偏微分方程的一阶导数项只有一个时，即$$\begin{array}{}\text{(29)}& \frac{\partial u}{\partial x_1}+p(x_1,\cdots ,x_n)u=q(x_1,\cdots ,x_n)\end{array}$$ 此时可以直接使用积分因子法来求解此题，只不过需要把积分常数换成关于$x_2,\cdots ,x_n$的函数即可，亦即$$\begin{array}{}\text{(30)}& u(x_1,\cdots ,x_n)={\mathrm{e}}^{-\int p\mathrm{d}{x}_1}(\int {\mathrm{e}}^{\int p\mathrm{d}{x}_1}q\mathrm{d}{x}_1+f(x_2,\cdots ,x_n))\end{array}$$ 其中$f\in \mathcal{C}({\mathbb{R}}^{n-1})$。

当一阶线性偏微分方程的一阶导数项不止一个时，我们可以尝试利用换元法来消除多余的一阶导数项。一种常见的方法是特征线法。设$\mathit{x}\in {\mathbb{R}}^n$，$b_1,\cdots ,b_n,c,f,u$均为关于$\mathit{x}$的函数，给定区域$D$上关于$u$的一阶线性偏微分方程$$\begin{array}{}\text{(31)}& \sum _{i=1}^n{b}_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+cu=f\end{array}$$ 则特征线法的步骤如下：

1.

列特征方程组$$\begin{array}{}\text{(32)}& \frac{\mathrm{d}{x}_1}{b_1}=\cdots =\frac{\mathrm{d}{x}_n}{b_n}\end{array}$$

2.

求出它的$n-1$个线性无关的隐式通解$$\begin{array}{}\text{(33)}& {\phi }_i(x_1,\cdots ,x_n)=h_i,i=1,\cdots ,n-1\end{array}$$ 称为$n-1$个首次积分或特征线。

3.

选择与${\phi }_1,\cdots ,{\phi }_{n-1}$线性无关的函数${\phi }_n$，亦即使得如下Jacobi矩阵可逆$$\begin{array}{}\text{(34)}& J=\frac{\partial ({\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n)}{\partial (x_1,\cdots ,x_n)}\end{array}$$

4.

作如下自变量变换$$\begin{array}{}\text{(35)}& {\xi }_i={\phi }_i(x_1,\cdots ,x_n),i=1,\cdots ,n\end{array}$$ 则原偏微分方程可化为仅含有一项一阶偏导数的形式，即$$\begin{array}{}\text{(36)}& \left(\sum _{i=1}^n{b}_i\frac{\partial {\phi }_n}{\partial x_i}\right)\frac{\partial \tilde{u}}{\partial {\xi }_n}+c\tilde{u}=f\end{array}$$ 特别地，当$c=f=0$时，令${\xi }_n=x_n$，方程可化为$$\begin{array}{}\text{(37)}& \frac{\partial \tilde{u}}{\partial {\xi }_n}=0\end{array}$$ 此时方程的解为$$\begin{array}{}\text{(38)}& u(x_1,\cdots ,x_n)=\tilde{u}({\xi }_1(\mathit{x}),\cdots ,{\xi }_n(\mathit{x}))=F({\phi }_1(\mathit{x}),\cdots ,{\phi }_{n-1}(\mathit{x}))\end{array}$$ 其中$F\in {\mathcal{C}}^1({\mathbb{R}}^{n-1})$是任意函数。

4.2.9 *二阶线性偏微分方程的分类与标准式

二阶线性偏微分方程的一般形式为$$\begin{array}{}\text{(39)}& a_{11}{u}_{xx}+2a_{12}{u}_{xy}+a_{22}{u}_{yy}+b_1{u}_x+b_2{u}_y+cu=f\end{array}$$ 任何二阶线性偏微分方程都可以通过适当的变量换元化为标准形式：

(1)

双曲型方程的标准形为$$\begin{array}{}\text{(40)}& u_{xx}-u_{yy}+b_1{u}_x+b_2{u}_y+cu=f\end{array}$$ 或$$\begin{array}{}\text{(41)}& u_{xy}+b_1{u}_x+b_2{u}_y+cu=f\end{array}$$ 第二种形式的双曲型方程可通过如下自变量换元得到第一种形式$$\begin{array}{}\text{(42)}& (\xi ,\eta )=(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})\end{array}$$

(2)

抛物型方程的标准形为$$\begin{array}{}\text{(43)}& u_{xx}+b_1{u}_x+b_2{u}_y+cu=f\end{array}$$ 或$$\begin{array}{}\text{(44)}& u_{yy}+b_1{u}_x+b_2{u}_y+cu=f\end{array}$$

(3)

椭圆型方程的标准形为$$\begin{array}{}\text{(45)}& u_{xx}+u_{yy}+b_1{u}_x+b_2{u}_y+cu=f\end{array}$$

现在推导任意二阶线性偏微分方程变换为标准形的方法。作非奇异自变量变换$$\begin{array}{}\text{(46)}& \{\begin{array}{l}\xi =\phi (x,y)\\ \eta =\psi (x,y)\end{array},detJ=det\frac{\partial (\phi ,\psi )}{\partial (x,y)}\ne 0\end{array}$$ 方便起见，$u$作为新自变量$\xi ,\eta$的函数仍旧记作$u(\xi ,\eta )$。代入原偏微分方程中可得$$\begin{array}{}\text{(47)}& A_{11}{u}_{\xi \xi }+2A_{12}{u}_{\xi \eta }+A_{22}{u}_{\eta \eta }+B_1{u}_{\xi }+B_2{u}_{\eta }+cu=f\end{array}$$ 其中$$\begin{array}{}\text{(48)}& \begin{array}{rl}{A}_{11}& =a_{11}{\xi }_x^2+2a_{12}{\xi }_x{\xi }_y+a_{22}{\xi }_y^2\\ A_{12}& =a_{11}{\xi }_x{\eta }_x+a_{12}({\xi }_x{\eta }_y+{\eta }_x{\xi }_y)+a_{22}{\xi }_y{\eta }_y\\ A_{22}& =a_{11}{\eta }_x^2+2a_{12}{\eta }_x{\eta }_y+a_{22}{\eta }_y^2\end{array}\end{array}$$ 以及$$\begin{array}{}\text{(49)}& \begin{array}{rl}{B}_1& =a_{11}{\xi }_{xx}+2a_{12}{\xi }_{xy}+a_{22}{\xi }_{yy}+b_1{\xi }_x+b_2{\xi }_y\\ B_2& =a_{11}{\eta }_{xx}+2a_{12}{\eta }_{xy}+a_{22}{\eta }_{yy}+b_1{\eta }_x+b_2{\eta }_y\end{array}\end{array}$$

设$(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$，$a_{11},a_{12},a_{22},b_1,b_2,c,f,u$均为关于$(x,y)$的函数，给定区域$D$上关于$u$的二阶线性偏微分方程$$\begin{array}{}\text{(50)}& a_{11}{u}_{xx}+2a_{12}{u}_{xy}+a_{22}{u}_{yy}+b_1{u}_x+b_2{u}_y+cu=f\end{array}$$ 其特征方程为$$\begin{array}{}\text{(51)}& a_{11}\mathrm{d}{y}^2-2a_{12}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+a_{22}\mathrm{d}{x}^2=0\end{array}$$ 其解称为特征线。记$$\begin{array}{}\text{(52)}& \mathrm{\Delta }=a_{12}^2-a_{11}{a}_{22}\end{array}$$ 对判别式与$0$的关系进行讨论：

(1)

当$\mathrm{\Delta }>0$时，若$a_{11}^2+a_{22}^2=0$，只需要将$u_{xy}$的系数化为$1$，此方程已是双曲型的标准形,即$$\begin{array}{}\text{(53)}& u_{xy}+\frac{1}{2a_{12}}(b_1{u}_x+b_2{u}_y+cu)=\frac{f}{2a_{12}}\end{array}$$

(2)

当$\mathrm{\Delta }>0$时，若$a_{11}^2+a_{22}^2\ne 0$，不妨设$a_{11}\ne 0$，由特征方程可得$$\begin{array}{}\text{(54)}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a_{12}\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{a_{11}}\end{array}$$ 解得两族独立的特征线$$\begin{array}{}\text{(55)}& \phi (x,y)=h_1,\psi (x,y)=h_2\end{array}$$ 作如下自变量变换$$\begin{array}{}\text{(56)}& \xi =\phi (x,y),\eta =\psi (x,y)\end{array}$$ 则原方程可化为双曲型的标准形$$\begin{array}{}\text{(57)}& u_{\xi \eta }+\frac{1}{2A_{12}}(B_1{u}_{\xi }+B_2{u}_{\eta }+Cu)=\frac{f}{2A_{12}}\end{array}$$

(3)

当$\mathrm{\Delta }=0$时，不妨设$a_{11}\ne 0$，由特征方程可得$$\begin{array}{}\text{(58)}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a_{12}\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{a_{11}}=\frac{a_{12}}{a_{11}}\end{array}$$ 解得一族特征线为$$\begin{array}{}\text{(59)}& \phi (x,y)=h_1\end{array}$$ 任取与$\phi$无关的函数$\psi$，作如下自变量变换$$\begin{array}{}\text{(60)}& \xi =\phi (x,y),\eta =\psi (x,y)\end{array}$$ 则原方程可化为抛物型的标准形$$\begin{array}{}\text{(61)}& u_{\eta \eta }+\frac{1}{A_{22}}(B_1{u}_{\xi }+B_2\eta +Cu)=\frac{f}{A_{22}}\end{array}$$

(4)

当$\mathrm{\Delta }<0$时，此时必有$a_{11}{a}_{22}\ne 0$。由特征方程可得$$\begin{array}{}\text{(62)}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a_{12}\pm \mathrm{i}\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{a_{11}}\end{array}$$ 此时不存在实的特征曲线，特征线为一对共轭的复特征线$$\begin{array}{}\text{(63)}& G(x,y)=\phi (x,y)+\mathrm{i}\psi (x,y)=h_1,\bar{G}(x,y)=\phi (x,y)-\mathrm{i}\psi (x,y)=h_2\end{array}$$ 作如下自变量变换$$\begin{array}{}\text{(64)}& \xi =\phi (x,y),\eta =\psi (x,y)\end{array}$$ 则原方程可化为椭圆型的标准形$$\begin{array}{}\text{(65)}& u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+\frac{1}{A_{11}}(B_1{u}_{\xi }+B_2\eta +Cu)=\frac{f}{A_{11}}\end{array}$$

(5)

如果$\mathrm{\Delta }$的符号不确定，则需要分区域对方程进行分类讨论。