7.1 知识点复习
7.1.1 一元定积分回顾
- (1)
-
Riemann和:设
为 的一个划分,选定区间的代表元 ,则 在 上的Riemann和为 - (2)
-
Riemann可积:设
,若 ,使得 , ,使得对任意划分 , 则称 在 上Riemann可积, 为 在 上的Riemann积分(定积分),记作 - (3)
-
Darboux上下和:设
有界,给定划分 ,定义 则显然有 - (4)
-
Darboux可积:设
,若 ,使得 ,存在划分 ,使得 则称 在 上Darboux可积。 - (5)
-
零测集:设
,若 , 可数个区间 ,使得 则称 为零测集。
- (1)
-
以下三个命题等价:
- (Riemann)
在 上Riemann可积; - (Darboux)
在 上Darboux可积; - (Lebesgue)
在 上有界,且 的间断点集是零测集。
- (Riemann)
- (2)
-
上的所有连续函数可积, 上的所有单调函数可积。
7.1.2 重积分的概念
- (1)
-
矩形:称
为 中的一个矩形,则 为 的 维体积。 - (2)
-
划分:称
为 的一个划分,若 ,其中 均为矩形; ,即两两矩形之间的交集是它们的公共边界。
- (3)
-
Riemann和:设
,选定 的代表元 ,则 在 上的Riemann和为 称 在 上Riemann可积,若 ,使得 , ,使得对任意划分 , 在 上的Riemann积分记作 当 时,该Riemann积分又称为( )重积分。 - (4)
-
Darboux和:设
,定义 在 上Darboux可积若……。 - (5)
-
Jordan可测:称
为Jordan可测集,若 为零测集,即 , 可数个矩形 ,使得 - (6)
-
Jordan可测集上的积分:设
为有界闭的Jordan可测集, 。令矩形 满足 ,定义函数 若 在 上可积,则称 在 上可积,且
- (1)
-
以下三个命题等价:
- (Riemann)
在 上Riemann可积; - (Darboux)
在 上Darboux可积; - (Lebesgue)
在 上有界,且 的间断点集是零测集。
- (Riemann)
- (2)
-
上的所有连续函数可积。 - (3)
-
若
为有界闭集且 为零测集,则 上的所有连续函数可积。 - (4)
-
示性函数
在 上可积,且 - (5)
-
重积分的性质:令
表示 上所有Riemann可积函数的集合,则- 线性:
是一个线性空间,即 , ,都有 ,且成立 - 保号性:设
,若 ,则 - 三角不等式:
,且成立 ,故 - Cauchy-Schwarz不等式:设
,则 ,且成立 - 积分中值定理:设
为连通集, 且 , ,则 ,使得 若下式中分母不为零,则有 称为 在 上关于 的(加权)平均值。
- 线性:
7.1.3 重积分的计算
计算重积分的基本方法:
- 将集合
和函数 分解为简单的部分; - 换元以化简
或 ; - 降低重数(维数)到一元积分或累次积分;
- 数值积分法、Monte Carlo方法等。
重要定理回顾
(Fubini)若
- (1)
-
证明:
- (2)
-
设
为三个圆柱 、 、 所围成的有界闭区域,证明: - (3)
-
积分换序练习。设
,证明: 设 ,证明: 证明: - (4)
-
设
是由 、 、 围成的两个有界闭区域,证明:
7.1.4 重积分的换元
重要定理回顾
设
- (1)
-
常用坐标系的体积元:
- 极坐标系:
; - 柱坐标系:
; - 球坐标系:
。
- 极坐标系:
- (2)
-
设
为有界闭的Jordan可测集,满足 ;函数 满足 。记 、 ,证明: - (3)
-
设
,利用换元 证明: - (4)
-
设
,利用极坐标换元证明1: - (5)
-
设
,利用换元 证明: - (6)
-
设
, 为 阶实对称正定矩阵,利用谱分解换元证明: - (7)
-
质心:设
,其密度分布函数为 ,则其质心 满足 - (8)
-
设
,其质量均匀分布,则 的质心 满足: - (9)
-
期望:设
为概率空间, 为随机变量,则其概率密度函数的定义为 其期望为 - (10)
-
在
( 均匀分布)上取 个独立随机变量 ,则其最小值的期望为 。 - (11)
-
证明万有引力定律对质量均匀分布的球体同样适用,即证明:
- (12)
-
证明有心力场的(广义)Kepler第二定律。设质点在平面上的运动轨迹为
,其中 。设 为行星与恒星连线在 内扫过的面积,令 ,则有 因此 的面积为 由 的任意性可得 因此 故 与 共线,即为有心力场。
7.1.5 补充:三维空间中的重积分计算
二重积分:画线法
二重积分的积分区域可以很方便地画出来,此时可借助画线法来确定积分限。如图 7.1.1(左)所示,我们可以
- 垂直于
轴画线( 的等值线),先确定 的值,意味着最后对 积分; - 上下平移该线即可得到
的取值范围 ; - 画的线与区域的交线就是
的积分限 ,为关于 的函数。
同理,我们也可以
- 垂直于
轴画线( 的等值线),先确定 的值,意味着最后对 积分; - 左右平移该线即可得到
的取值范围 ; - 画的线与区域的交线就是
的积分限 ,为关于 的函数。
有时,画的线与区域的交线并不是连续的,则积分区域需要分块,如图 7.1.1(右)所示。此时
除了对
- 以原点为端点、
为倾角画射线( 的等值线),先确定 的值,意味着最后对 积分; - 逆、顺时针旋转射线即可得到
的取值范围 ; - 画的线与区域的交线就是
的积分限 ,为关于 的函数。
或者
- 以原点为圆心、
为半径画圆( 的等值线),先确定 的值,意味着最后对 积分; - 放大、缩小该圆即可得到
的取值范围 ; - 画的线与区域的交线就是
的积分限 ,为关于 的函数。
三重积分:先一后二投影法
与二重积分类似,三重积分也可以借助划线法来确定积分限;如图 7.1.3 所示。
- 垂直于某一个坐标平面(不妨设为
)画线( 的等值线),确定了2个坐标值 ,意味着最后对 积分,故称为“先一后二法”。 - 前后、左右平移该线即可得到
的取值范围 ,这相当于将积分区域向 平面投影,故称为“投影法”; - 画的线与区域的交线就是
的积分限 ,为关于 的函数。
其他坐标平面也是类似的。
三重积分:先二后一截面法
除了先一后二投影法以外,我们还可以利用先二后一截面法来确定积分限;如图 7.1.4 所示。
- 垂直于某一坐标轴(不妨设为
轴)画平面( 的等值面),确定了 的坐标值,意味着最后对 积分,故称为“先二后一法”; - 上下平移平面即可得到
的取值范围 ; - 画的平面与区域的交面就是
的积分限 ,为关于 的函数,这实际上是积分区域关于 轴的横截面,故称为“截面法”。
三重积分:柱坐标系、球坐标系
除了在直角坐标系中积分以外,三重积分也可以在柱坐标系、球坐标系中进行。以图 7.1.5 为例,我们可以
- 以原点为端点、
为倾角画射线,画出该射线和 轴构成的半平面( 的等值面),确定了 的值,意味着最后对 积分; - 沿
轴逆、顺时针旋转半平面即可得到 的取值范围 ; - 画的半平面与区域的交面就是
的积分限 ,为关于 的函数。
其他情况也是类似的。
总结
尽管利用解不等式组来确定积分限的方法(参见第 8.2 节)适用于任意空间,但在三维空间中,我们仍然可以通过画图来直观地理解积分区域的形状,从而更好地确定积分限。