知识点复习

10.1 知识点复习

10.1.1 向量场的旋度和散度、Gauss公式、Stokes公式

重要概念回顾

(1)

散度：空间 $C^{1}$ 向量场 $F = (X, Y, Z)^{T}$ 的散度定义为 $\begin{matrix} (1) & div F = \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} + \frac{\partial Z}{\partial z} = tr \frac{\partial (X, Y, Z)}{\partial (x, y, z)} = \nabla \cdot F \end{matrix}$

(2)

旋度：空间 $C^{1}$ 向量场 $F = (X, Y, Z)^{T}$ 的旋度定义为 $\begin{matrix} (2) & curl F = {(\frac{\partial Z}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial z}, \frac{\partial X}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial x}, \frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y})}^{T} = \nabla \times F \end{matrix}$

(3)

楔积与外微分的运算法则：设 $α$ 为 $p$ 阶微分形式、 $β, γ$ 为 $q$ 阶微分形式，则

$d x^{i} \land d x^{i} = 0$ ， $d x^{i} \land d x^{j} = - d x^{j} \land d x^{i}$ 。
$d (β + γ) = d β + d γ$ 。
$d (α \land β) = d α \land β + (- 1)^{p} α \land d β$ 。
$d (d α) = 0$ 。

重要定理回顾

(1): Gauss公式的物理表述：设 $Ω \subseteq R^{3}$ 为空间闭区域，其边界 $\partial Ω$ 分片 $C^{1}$ 且法向为曲面外向， $F : Ω \to R^{3}$ 为 $C^{1}$ 向量场，则有 $\begin{matrix} (3) & \int_{\partial Ω} ⟨ F, n ⟩ d S = \int_{Ω} div F d V = \int_{Ω} \nabla \cdot F d V \end{matrix}$
(2): Stokes公式的物理表述：设 $Σ \subseteq R^{3}$ 为可定向曲面，其边界 $\partial Σ$ 为分段 $C^{1}$ 曲线且前向为曲面法向¹， $F : Σ \to R^{3}$ 为 $C^{1}$ 向量场，则有 $\begin{matrix} (4) & \int_{\partial Σ} F \cdot d x = \int_{Σ} ⟨ curl F, n ⟩ d σ = \int_{Σ} (\nabla \times F) \cdot n d σ \end{matrix}$
(3): Gauss公式和Stokes公式的数学表述： $\oint_{\partial Ω} ω = \int_{Ω} d ω$ ，其中 $ω$ 为一阶或二阶微分形式，称为广义Stokes公式。
(4): Gauss公式的展开形式： $\begin{matrix} (5) & \oint_{\partial Ω} (X d y \land d z + Y d z \land d x + Z d x \land d y) = \int_{Ω} (\frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} + \frac{\partial Z}{\partial z}) d x d y d z \end{matrix}$
(5): Stokes公式的展开形式： $\begin{matrix} (6) & \oint_{\partial Σ} (X d x + Y d y + Z d z) = \int_{Σ} [(\frac{\partial Z}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial z}) d y \land d z + (\frac{\partial X}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial x}) d z \land d x + (\frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y}) d x \land d y] \end{matrix}$

应用

(1): 散度的物理定义： $div F (P_{0}) := lim_{ε \to 0^{+}} \frac{1}{| B (P_{0}, ε) |} \oint_{\partial B (P_{0}, ε)^{+}} ⟨ F, n ⟩ d S$ 。
(2): 旋度的物理定义： $curl F (P_{0}) \cdot n := lim_{ε \to 0^{+}} \frac{1}{| D (P_{0}, n, ε) |} \oint_{\partial D (P_{0}, n, ε)^{+}} F \cdot d x$ ，其中 $D (P_{0}, n, ε)$ 表示以 $P_{0}$ 为圆心， $n$ 为法向量，半径为 $ε$ 的圆盘。

注广义Stokes公式涵盖了Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式等，它联系了彼此相关的两个不同维数的几何对象上的积分：当几何对象升高一维时，被积分的微分形式就通过外微分（求导）运算提高一阶，几何对象的维数与被积分的微分形式的阶数一致。其中，Newton-Leibniz公式 $\begin{matrix} (7) & \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} d F (x) = \int_{\partial [a, b]} F (x) = F (b) \cdot 1 + F (a) \cdot (- 1) \end{matrix}$ 这里 $- 1, 1$ 分别是区间 $[a, b]$ 在左右两个端点（边界）处的单位外法向量（沿着数轴）。

一方面，我们可以利用这些公式对积分“降维”；另一方面，我们使用这些公式，把曲线曲面上的积分变成高维欧氏空间上的积分。此外，这些公式还把不同的物理量联系在一起，如反映了区域内的向量场的散度、旋度（微观性质）和边界上的通量、环量（宏观性质）的联系。

10.1.2 曲线、曲面积分小结

王兆臻学长总结了曲线、曲面积分的所有重要知识点，大家可以参考²。

10.1.3 *曲面坐标系(2)

设 $r$ 为正交曲面坐标系中的一点， $x^{i}$ 方向的单位向量为 $e_{i}$ ，则 $\begin{matrix} (8) & h_{i} = ‖ \frac{\partial r}{\partial x^{i}} ‖, e_{i} = \frac{1}{h_{i}} \frac{\partial r}{\partial x^{i}} \end{matrix}$ 设 $u : R^{3} \to R$ ，则 $\nabla u$ 可表示为 $\begin{matrix} (9) & \nabla u = \sum_{i} \frac{1}{h_{i}} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} e_{i} \end{matrix}$

散度的物理定义和计算方式如图10.1.1所示。由图可知，通过微元长方体中与 $u$ 垂直的两个表面的通量为 $\begin{matrix} (10) & Φ_{u} = \frac{\partial (F_{u} h_{v} h_{w})}{\partial u} d u d v d w \end{matrix}$ 其余表面同理。由Gauss公式可得 $\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} Φ_{u} + Φ_{v} + Φ_{w} & = (\nabla \cdot F) h_{u} h_{v} h_{w} d u d v d w \\ = \frac{\partial (F_{u} h_{v} h_{w})}{\partial u} d u d v d w + \frac{\partial (F_{v} h_{u} h_{w})}{\partial v} d u d v d w + \frac{\partial (F_{w} h_{u} h_{v})}{\partial w} d u d v d w \end{aligned} \end{matrix}$ 因此 $\begin{matrix} (12) & \nabla \cdot F = \frac{1}{h_{u} h_{v} h_{w}} [\frac{\partial (F_{u} h_{v} h_{w})}{\partial u} + \frac{\partial (h_{u} F_{v} h_{w})}{\partial v} + \frac{\partial (h_{u} h_{v} F_{w})}{\partial w}] \end{matrix}$ 取 $F = \nabla φ$ ，可得Laplace算子在正交曲面坐标系中的展开为 $\begin{matrix} (13) & Δ φ = \frac{1}{h_{u} h_{v} h_{w}} [\frac{\partial}{\partial u} (\frac{h_{v} h_{w}}{h_{u}} \frac{\partial φ}{\partial u}) + \frac{\partial}{\partial v} (\frac{h_{w} h_{u}}{h_{v}} \frac{\partial φ}{\partial v}) + \frac{\partial}{\partial w} (\frac{h_{u} h_{v}}{h_{w}} \frac{\partial φ}{\partial w})] \end{matrix}$

旋度的物理定义和计算方式如图10.1.2所示。由图可知，通过与 $w$ 垂直的微元长方形边界的前向环量为 $\begin{matrix} (14) & Γ_{w} = [\frac{\partial (F_{v} h_{v})}{\partial u} - \frac{\partial (F_{u} h_{u})}{\partial v}] d u d v \end{matrix}$ 由Stokes公式可得 $\begin{matrix} (15) & Γ_{w} = (\nabla \times F) \cdot e_{w} h_{u} h_{v} d u d v ⟹ (\nabla \times F)_{w} = \frac{1}{h_{u} h_{v}} [\frac{\partial (F_{v} h_{v})}{\partial u} - \frac{\partial (F_{u} h_{u})}{\partial v}] \end{matrix}$ 其余方向同理。因此 $\begin{matrix} (16) & \nabla \times F = \frac{1}{h_{u} h_{v} h_{w}} det (\begin{matrix} h_{u} e_{u} & h_{v} e_{v} & h_{w} e_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ F_{u} h_{u} & F_{v} h_{v} & F_{w} h_{w} \end{matrix}) \end{matrix}$

10.1.4 *向量分析

设 $φ, ψ : R^{3} \to R$ ， $f, g : R^{3} \to R^{3}$ ， $\nabla$ 算符满足以下运算公式：

$\nabla (φ ψ) = φ \nabla ψ + ψ \nabla φ$
$\nabla \cdot (φ f) = (\nabla φ) \cdot f + φ \nabla \cdot f$
$\nabla \times (φ f) = (\nabla φ) \times f + φ \nabla \times f$
$\nabla \cdot (f \times g) = (\nabla \times f) \cdot g - f \cdot (\nabla \times g)$
$\nabla \times (f \times g) = (g \cdot \nabla) f + (\nabla \cdot g) f - (f \cdot \nabla) g - (\nabla \cdot f) g$
$\nabla (f \cdot g) = f \times (\nabla \times g) + (f \cdot \nabla) g + g \times (\nabla \times f) + (g \cdot \nabla) f$
$\nabla \cdot \nabla φ = \nabla^{2} φ = Δ φ$
$\nabla \times (\nabla \times f) = \nabla (\nabla \cdot f) - \nabla^{2} f$

以上公式都可以用直角分量展开直接证明，但只要我们正确地考虑到 $\nabla$ 算符（包括 $\nabla \cdot$ 、 $\nabla \times$ ）的特性，就可以把上述公式简单地“写”出来，例如：

计算 $\nabla (φ ψ)$ ：作为微分算符， $\nabla$ 既要作用在 $φ$ 上、也要作用在 $ψ$ 上，因此有 $\begin{matrix} (17) & \nabla (φ ψ) = (\nabla φ) ψ + φ (\nabla ψ) = φ \nabla ψ + ψ \nabla φ \end{matrix}$
计算 $\nabla \cdot (φ f)$ ：作为微分算符， $\nabla \cdot$ 既要作用在 $φ$ 上、也要作用在 $f$ 上，因此有 $\begin{matrix} (18) & \nabla \cdot (φ f) \sim (\nabla \cdot φ) f + φ (\nabla \cdot f) \end{matrix}$ 然而 $(\nabla \cdot φ) f$ 不是正确的写法，需要将其改为 $(\nabla φ) \cdot f$ ，最终有 $\begin{matrix} (19) & \nabla \cdot (φ f) = (\nabla φ) \cdot f + φ \nabla \cdot f \end{matrix}$ 计算 $\nabla \times (φ f)$ 同理，但需要严格遵守“标量在前、向量在后”的规则。
计算 $\nabla \cdot (f \times g)$ ：利用向量的混合积公式 $\begin{matrix} (20) & a \cdot (b \times c) = c \cdot (a \times b) = b \cdot (c \times a) \end{matrix}$ 可得到 $\begin{matrix} (21) & \nabla \cdot (f \times g) \sim g \cdot (\nabla \times f) \sim f \cdot (g \times \nabla) \end{matrix}$ 移动 $\nabla$ 的位置，可使其分别作用在 $f$ 和 $g$ 上；但是 $g \times \nabla$ 并不是正确的写法，需要将其改为 $- \nabla \times g$ 。最终的结果是上述两部分之和，即 $\begin{matrix} (22) & \nabla \cdot (f \times g) = (\nabla \times f) \cdot g - f \cdot (\nabla \times g) \end{matrix}$
计算 $\nabla \times (f \times g)$ ：只考虑作用在 $f$ 的部分，利用向量的向量积公式 $\begin{matrix} (23) & a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c \end{matrix}$ 可得到 $\begin{matrix} (24) & \nabla \times (f \times g) \sim (\nabla \cdot g) f - (\nabla \cdot f) g \end{matrix}$ $(\nabla \cdot g) f$ 并不是作用在 $f$ 上的，需要将其改为 $(g \cdot \nabla) f$ ，其中 $g \cdot \nabla$ 是一个复合算符，既可以作用在标量函数上、又可以作用在向量函数上。再考虑其作用在 $g$ 的部分，同理需要将 $(\nabla \cdot f) g$ 改为 $(f \cdot \nabla) g$ 。最终的结果是上述两部分之和，即 $\begin{matrix} (25) & \nabla \times (f \times g) = (g \cdot \nabla) f - (\nabla \cdot f) g + (\nabla \cdot g) f - (f \cdot \nabla) g \end{matrix}$
计算 $\nabla (f \cdot g)$ ：只考虑作用在 $g$ 的部分，需要反向利用 $\begin{matrix} (26) & f \times (\nabla \times g) \sim (f \cdot g) \nabla - (f \cdot \nabla) g \end{matrix}$ 将 $(f \cdot g) \nabla$ 修正为 $\nabla (f \cdot g)$ ，得到 $\begin{matrix} (27) & \nabla (f \cdot g) \overset{f 不变}{=} f \times (\nabla \times g) + (f \cdot \nabla) g \end{matrix}$ 再考虑 $g \times (\nabla \times f)$ ，最终有 $\begin{matrix} (28) & \nabla (f \cdot g) = f \times (\nabla \times g) + (f \cdot \nabla) g + g \times (\nabla \times f) + (g \cdot \nabla) f \end{matrix}$
计算 $\nabla \times (\nabla \times f)$ ：这里只有一个向量函数 $f$ ，直接利用向量的向量积公式可得 $\begin{matrix} (29) & \nabla \times (\nabla \times f) \sim (\nabla \cdot f) \nabla - (\nabla \cdot \nabla) f ⟹ \nabla \times (\nabla \times f) = \nabla (\nabla \cdot f) - \nabla^{2} f \end{matrix}$

10.1.5 *Helmholtz分解

定理 10.1.1 （Helmholtz分解）设 $Ω \subseteq R^{3}$ 为有界开区域，向量场 $F \in C (\overset{―}{Ω})$ 且 $F \in C^{2} (Ω)$ ，则 $F$ 可以分解为无旋场与无源场之和，即 $\begin{matrix} (30) & F = - \nabla φ + \nabla \times A \end{matrix}$ 其中 $\begin{matrix} (31) & \begin{aligned} φ (r) & = \frac{1}{4 π} \int_{Ω} \frac{\nabla^{'} \cdot F (r^{'})}{∥ r - r^{'} ∥} d V^{'} - \frac{1}{4 π} \oint_{\partial Ω} n \cdot \frac{F (r^{'})}{∥ r - r^{'} ∥} d S^{'} \\ A (r) & = \frac{1}{4 π} \int_{Ω} \frac{\nabla^{'} \times F (r^{'})}{∥ r - r^{'} ∥} d V^{'} - \frac{1}{4 π} \oint_{\partial Ω} n \times \frac{F (r^{'})}{∥ r - r^{'} ∥} d S^{'} \end{aligned} \end{matrix}$

证明证明参考Wiki百科³。 $◻$

注对于线性向量场 $F (x) = A x$ ， $tr A = 0 ⟺ div F = 0$ ， $A = A^{T} ⟺ curl F = 0$ 。

¹由右手定则确定。

²./figure/integral_wzz.pdf。

³https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition。