2.1 第1次作业评讲
例2/13
以下是常见错误:
-
(1)
-
“当时,,故连续”错误,应当验证。
-
(2)
-
分情况讨论时需要单独讨论,因为可以转圈趋于原点,此时无法代入表达式。
例4
累次极限均不存在,求累次极限时相当于其他自变量当作常数。不定不定
例10
以下是常见错误:
-
(1)
-
重极限与累次极限没有直接关系,下面的做法是错误的:
此处实际上是把拆成了,这是不正确的。
-
(2)
-
不能推出,因为并不恒成立。
本题需要利用复合函数的极限:若、在处连续且。证明此题时需要处理很多细节:
-
(1)
-
由Lagrange中值定理可得位于之间使得
式中使用了复合函数的极限。在应用定理时我们还需要证明内层极限存在,这可以使用夹挤定理:
-
(2)
-
由Taylor公式可得
式中使用了复合函数的极限。上面的写法不太好,的含义是什么?如果要直接判断其为,需要对一致。此处可以规避这个问题:,使得
故,、,使得,
因此
由此可见,这个的写法会丢失很多信息,尽量不要使用。
除了利用复合函数的极限,还可以根据连续的定义,用去控制等。
例12
无法证明是范数,反例如下: